1. กำหนดให้ \(f(x)=x^{3}-3x+c\) เมื่อ \(c\) เป็นจำนวนจริง  ถ้ากราฟของเส้นตรง \(y=6-x\) ตัดกับกราฟของ \(y=f(x)\) ที่ \(x=2\) แล้ว \(x+2\) หาร \(f(x)\) เหลือเศษเท่ากับข้อใดต่อไปนี้ [กสพท คณิต 1 (มี.ค.63/1)]

1. 0
2. 1
3. 2
4. 3
5. 4

วิธีทำ ข้อนี้ง่ายคับ มีความรู้เกี่ยวกับทฤษฎีบทเศษเหลือ(Remainder Theorem) ก็ทำได้แล้วคับ แต่ก่อนอื่นต้องหาค่าของ \(c\) ให้ได้ก่อน

กำหนดให้

\(y=6-x\)  เป็นสมการที่ \((1)\)

\(f(x)=x^{3}-3x+c\) เป็นสมการที่ \((2)\)

โจทย์บอกว่ากราฟของสองสมการนี้ตัดกันที่จุด\(x=2\) เราก็เอาค่าของ \(x=2\) ไปแทนในสมการที่ \((1)\) เพื่อหาค่าของ \(y\) ออกมาจะได้ว่า

\begin{array}{lcl}y&=&6-x\\y&=&6-2\\y&=&4\end{array}

ตอนนี้เรารู้ว่า ถ้า \(x=2\) จะได้ \(y=4\) เรานำค่านี้ไปแทนในสมการที่ \((2)\) จะได้ว่า

\begin{array}{lcl}f(x)&=&x^{3}-3x+c\\4&=&2^{3}-3(2)+c\\4&=&8-6+c\\4&=&2+c\\c&=&2\end{array}

ตอนนี้เราได้ว่า \(c=2\)  ดังนั้น

\(f(x)=x^{3}-3x+2\) นั่นเอง

โจทย์ถามว่า \(x+2=x-(-2)\) หาร \(f(x)\) เหลือเศษเท่าใด เราก็ใช้ ทฤษฎีบทเศษเหลือ(Remainder Theorem)หาคำตอบได้เลย

\begin{array}{lcl}f(x)=x^{3}-3x+2\\f(-2)&=&(-2)^{3}-3(-2)+2\\f(-2)&=&-8+6+2\\f(-2)&=&0\end{array}

ข้อนี้คำตอบคือ เศษ 0 นั่นเองคับ

---

2. ให้ \(\mathbb{Z}\) แทนเซตของจำนวนเต็ม ผลบวกของสมาชิกทั้งหมดในเซต \(\{x\in\mathbb{Z}||\frac{x-1}{x+3}|=\frac{1-x}{x+3}\}\) เท่ากับเท่าใด [กสพท คณิต 1(เมษายน 64/3]

1. -5
2. -3
3. -2
4. 0
5. จำนวนสมาชิกในเซตนี้เป็นจำนวนอนันต์ และหาผลบวกไม่ได้

วิธีทำ แน่นอนข้อนี้เราก็ต้องแก้สมการเพื่อหาสมาชิกในเซตที่โจทย์กำหนดมาให้คับ ซึ่งเป็นสมการค่าสัมบูรณ์ ต้องรู้จักสมบัติค่าสัมบูรณ์ด้วย และถ้าเราสังเกตดีๆ จะเห็นว่าข้างซ้ายและข้างขวาสมการจะมีหน้าตาคล้ายๆกัน ซึ่งสามารถจัดรูปให้มันเหมือนกันได้คับ มาดูวิธีการทำเลยดีว่า

\begin{array}{lcl}|\frac{x-1}{x+3}|&=&\frac{1-x}{x+3}\\|\frac{x-1}{x+3}|&=&\frac{-(x-1)}{x+3}\quad\cdots (1)\end{array}

จากสมการที่ \((1)\) ถ้าเราให้ \(A=\frac{x-1}{x+3}\) เราก็จะได้

\(|A|=-A\) ซึ่งจากตรงนี้จากสมบัติค่าสัมบูรณ์เราจะได้ว่า \(A\leq 0\) ซึ่งนั้นก็คือ \(\frac{x-1}{x+3}\leq 0\) เราก็แก้อสมการนี้เพื่อหาค่า \(x\) เลยคับ เริ่มเลย แต่อย่าลืมนะจากอสการ \(x\) ต้องไม่เท่ากับ \(-3\) นะคับตัวส่วนเป็นศูนย์ไม่ได้นะ

\begin{array}{lcl}\frac{x-1}{x+3}&\leq &0\\(x+3)^{2}\frac{x-1}{x+3}&\leq &0\\(x+3)(x-1)&\leq &0\end{array}

ดังนั้นเราจะได้ว่า \(x\in (-3,1]\) แต่ \(x\) เป็นจำนวนเต็ม ดังนั้นจำนวนเต็มที่อยู่ในช่วง \((-3,1]\) คือ \(-2,-1,0,1\)

ดังนั้นผลบวกของสมาชิกทั้งหมดคือ \(-2+(-1)+1=-2\quad\underline{Ans}\)

---

3. ถ้า \(x^{2}-4x+5\) เป็นตัวประกอบของ \(x^{3}+ax^{2}+bx+30\) โดยที่ \(a)\) และ \(b\) เป็นจำนวนจริง แล้ว \(a+b\) เท่ากับเท่าใด [กสพท คณิต1 (เม.ย.64)]

1. -29
2. -18
3. -17
4. 1
5. 19

วิธีทำ ข้อนี้มีวิธีการทำหลายวิธีนะคับ แต่วิธีที่ผมจะทำคือเทียบสัมประสิทธิ์เอาคับ 

จากโจทย์บอกว่า \(x^{2}-4x+5\) เป็นตัวประกอบของ \(x^{3}+ax^{2}+bx+30\) นั่นหมายความว่า

\((x^{2}-4x+5)(x-A)=x^{3}+ax^{2}+bx+30\)

เราก็จับมาคูณกันเลยคับ เราก็จะได้แบบนี้

\begin{array}{lcl}(x^{2}-4x+5)(x-A)&=&x^{3}+ax^{2}+bx+30\\x^{3}+(-4-A)x^{2}+(5+4A)x-5A&=&x^{3}+ax^{2}+bx+30\quad\cdots (1)\end{array}

ถ้าเราเทียบสัมประสิทธิ์จากสมการข้างบน เราจะไว่า

\begin{array}{lcl}-5A&=&30\\A&=&-6\end{array}

\begin{array}{lcl}-4-A&=&a\\-4+6&=&a\\a&=&2\end{array}

\begin{array}{lcl}5+4A&=&b\\5+4(-6)&=&b\\5-24&=&b\\b&=&-19\end{array}

ดังนั้น \(a=2\) และ \(b=-19\) ดังนั้น

\(a+b=2+(-19)=-17\quad\underline{Ans}\)

---

4. กำหนดให้ \(P(x)=ax^{5}+bx^{3}+cx+d\) เมื่อ \(a,b,c,d\) เป็นค่าคงตัว ถ้า \(x-1\) หาร \(P(x)\) เหลือเศษ \(10\) และ \(x\) หาร \(P(x)\) เหลือเศษ \(6\) แล้ว \(x+1\) หาร \(P(x)\) เหลือเศษเท่ากับข้อใดต่อไปนี้ [กสพท คณิต1(ธ.ค.58/2)]

1. -4
2. -6
3. 2
4. 4
5. 6

วิธีทำ ข้อนี้ไม่ยากคับเดี๋ยวลองทำไปพร้อมกันทีละขั้นตอนไปเลยคับ

โจทย์บอกว่า \(x-1\) หาร \(P(x)\) เหลือเศษ 10 จะได้ว่า

\begin{array}{lcl}P(x)&=&ax^{5}+bx^{3}+cx+d\\P(1)&=&a(1)^{5}+b(1)^{3}+c(1)+d=1\\so\\a+b+c+d&=&10\quad\cdots (1)\end{array}

โจทย์บอกว่า \(x-0\) หาร \(P(x)\) เหลือเศษ \(6\) จะได้ว่า

\begin{array}{lcl}P(x)&=&ax^{5}+bx^{3}+cx+d\\P(0)&=&a(0)^{5}+b(0)^{3}+c(0)+d=6\\so\\d&=&6\quad\cdots (2)\end{array}

โจทย์ถามว่า \(x+1\) หาร \(P(x)\) เหลือเศษเท่าไรก็คือให้ค่าของ

\begin{array}{lcl}P(-1)&=&a(-1)^{5}+b(-1)^{3}+c(-1)+d\\P(-1)&=&-a-b-c+d\end{array}

ตอนนี้ให้เราไปดูสมการที่ \((1)\) คือ

\begin{array}{lcl}a+b+c+d&=&10\\a+b+c+6&=&10\\a+b+c&=&10-6\\a+b+c&=&4\\so\\-a-b-c&=&-4\end{array}

คำตอบของข้อนี้ก็คือ

\begin{array}{lcl}P(-1)&=&-a-b-c+d\\&=&-4+6\\&=&2\quad\underline{Ans}\end{array}

---

5. ผลบวกของคำตอบทั้งหมดของสมการ \(|x^{2}-72|=x\) เท่ากับข้อใดต่อไปนี้ [ กสพท คณิต 1 (มี.ค.62/11)]

1. -1
2. 0
3. 8
4. 17
5. 19

วิธีทำ ข้อนี้เราก็แก้สมการติดค่าสัมบูรณ์คับ อย่าลืมนะว่าค่าสัมบูรณ์จะมีค่ามากกว่าเท่ากับศูนย์ ดังนั้นจากโจทย์เราจะได้ว่า \(x\geq 0\) เริ่มทำเลย จากโจทย์เราจะได้ว่า

\(x^{2}-72=x\)   หรือ \(x^{2}-72=-x\)

กรณี \(x^{2}-72=x\) เราจะได้ว่า

\begin{array}{lcl}x^{2}-72&=&x\\x^{2}-x-72&=&0\\(x+8)(x-9)&=&0\\so\\x=-8,9\end{array}

กรณี \(x^{2}-72=-x\) เราจะได้ว่า

\begin{array}{lcl}x^{2}-72&=&-x\\x^{2}+x-72&=&0\\(x+9)(x-8)&=&0\\so\\x=-9,8\end{array}

เนื่องจาก \(x\geq 0\) ดังนั้น \(x=8,9\) ผลบวกของคำตอบคือ \(9+8=17\underline{Ans}\)

---

6. ให้ \(S=\{x|x เป็นจำนวนเต็มที่สอดคล้องกับอสมการ  6|x-3|<5x\}\)  จำนวนสมาชิกของ \(S\) เท่ากับข้อใดต่อไปนี้ [กสพท คณิต 1 (ธ.ค.58/1)]

วิธีทำ ข้อนี้เกี่ยวกับการแก้อสมการค่าสัมบูรณ์  ถ้าเราดูจากอสมากร \(6|x-3|<5x\) เราจะเห็นได้ว่า \(|x-3|\geq 0\) แล้วไปคูณกับ 6 อีกก็ยังคงมากกว่าเท่ากับศูนย์อีกเหมือนเดิม  เราจึงได้ว่า  \(5x >0\) นั่นคือ \(x>0\) 

ต่อไปพิจารณา \(6|x-3|<5x\) จากความรู้เรื่องการแก้อสมการค่าสัมบูรณ์เราจะได้ว่า

\(6(x-3)<5x\)   หรือ \(-6(x-3)<5x\)

กรณี \(6(x-3)<5x\)  เราจะได้

\begin{array}{lcl}6(x-3)&<&5x\\6x-18&<&5x\\6x-5x&<&18\\x&<&18\quad\cdots (1)\end{array}

กรณี \(-6(x-3)<5x\) จัดอสมการหน่อยก็จะได้ \(6x-18>-5x\)  เราจะได้ว่า

\begin{array}{lcl}6x-18&>&-5x\\6x+5x&>&18\\x&>&\frac{18}{11}=1.64\quad\cdots (2)\end{array}

จากสมการที่ \((1)\) และ \((2)\) เราจะได้ว่า

\(1.64<x<18\) 

นั่นคือ \(x\) เป็นจำนวนเต็มที่มีค่าอยู่ระหว่าง 1.64 และ 18 นั่นก็คือ \(x=2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17\) ซึ่งมีทั้งหมด 16 ตัว