การหาจุดต่ำสุดหรือจุดสูงสุดของพาราโบลาโดยใช้สูตร ก่อนที่จะกล่าวถึงเรื่องนี้ ก็ต้องพูดให้น้องๆได้เข้าใจ

ก่อนน่ะคับว่าการเรียนคณิตศาสตร์ไม่ใช่การท่องจำสูตร น่ะคับ สูตรทุกอย่างมีที่มีที่ไป และมีการพิสูจน์แล้วว่าใช้ได้จริงๆ ไม่ได้มั่วทุกสูตรมีที่มาที่ไป ถ้าน้องๆว่างผมแนะนำให้ไปหาอ่านพวกบทพิสูจน์สูตรต่างๆว่ากว่าจะได้สูตรมาแต่ละอย่างเขามีวิธีการทำอย่างไรบ้าง มันจะทำให้เราเข้าอย่างลึกซึ้งคับและสนุกกับการเรียนคณิตศาสตร์มากยิ่งขึ้น เราไม่ได้จำอย่างเดียวอย่างน้อยเราก็รู้ว่ามันมีที่มาที่ไปอย่านี้น่ะ แต่บางครั้งเราก็ต้องมี

66. กำหนดให้ \(f(x)=x^{3}+Ax^{2}+Bx+4\) เมื่อ \(A,\quad B\) เป็นจำนวนจริง ถ้า \(f(1)=4\) และ \(f^{\prime}(0)=1\) แล้ว \(f\) มีค่าต่ำสุดสัมพัทธ์ เมื่อ \(x\) มีค่าเท่าใดต่อไปนี้

1. \(\frac{1}{3}\)
2. \(1\)
3. \(\frac{4}{3}\)
4. \(2\)

วิธีทำ  หลักการในการหาจุด   มีดังนี้นะคับ

1. นำฟังก์ชันมาดิฟก่อน

2. นำที่ดิฟได้จากข้อที่ 1 มาเท่ากับ \(0\) แล้วแก้สมการหาค่าวิกฤต

3. หาอนุพันธ์อันดับสองเก็บไว้

4. นำค่าวิกฤตที่หาได้จากข้อที่ 2 ไปแทนในข้อที่ 3 แล้วบวก ลบ คูณ หาร หลังจากบวก ลบ คูณ หารแล้ว

    ถ้าค่าที่ได้น้อยกว่า \(0\) ค่าวิกฤตนั้นจะทำตัวเป็นจุดสูงสุดสัมพัทธ์

    ถ้าค่าที่ได้มากกว่า \(0\) ค่าวิกฤตนั้นจะทำตัวเป็นจุดต่ำสุดสัมพัทธ์

อ่านเพิ่มเติมตามลิงก์นี้คับ ค่าต่ำสุดและค่าสูงสุดของฟังก์ชัน

เริ่มทำกันเลย แต่เดี๋ยวก่อนนะคับ เราต้องหาค่าของ \(A\) กับ \(B\) ให้ได้ก่อนนะคับผม

\begin{array}{lcl}f(x)&=&x^{3}+Ax^{2}+Bx+4\\f^{\prime}(x)&=&3x^{2}+2Ax+B\\f^{\prime}(0)=1\\so\\f^{\prime}(0)&=&0+0+B\\1&=&B\\B&=&1\end{array}

ตอนนี้ได้ว่า \(B=1\) ต่อไปหาค่า \(A\)

\begin{array}{lcl}f(x)&=&x^{3}+Ax^{2}+Bx+4\\f(x)&=&x^{3}+Ax^{2}+x+4\\f(1)=4\\so\\f(1)&=&1^{3}+A(1)^{2}+1+4\\4&=&A+6\\A&=&-2\end{array}

ตอนนี้ได้ค่า \(A=-2\) และ \(B=1\) ดังนั้น

\(f(x)=x^{3}-2x^{2}+x+4\) เริ่มทำตามขั้นตอนด้านบนที่ผมอธิบายได้เลยคับ

ขั้นตอนที่ 1

\begin{array}{lcl}f^{\prime}(x)&=&3x^{2}-4x+1\end{array}

ขั้นตอนที่ 2

\begin{array}{lcl}3x^{2}-4x+1&=&0\\(3x-1)(x-1)&=&0\\x=1,\frac{1}{3}\end{array}

ดังนั้นได้ค่าวิกฤต คือ \(x=1,\quad x=\frac{1}{3}\)

ขั้นตอนที่ 3

\begin{array}{lcl}f^{\prime}(x)&=&3x^{2}-4x+1\\f^{\prime\prime}(x)&=&6x-4\end{array}

ขั้นตอนที่ 4

\(f^{\prime\prime}(x)=6x-4\)

\(f^{\prime\prime}(1)=6(1)-4=2>0\) ดังนั้น ค่าวิกฤตนี้\((x=1)\) เป็นค่าที่ทำให้\(f\) มีจุดต่ำสุดสัมพัทธ์ 

\(f^{\prime\prime}(\frac{1}{3})=6\cdot \frac{1}{3}-4=-2<0\) ดังนั้น ค่าวิกฤตนี้\((x=\frac{1}{3})\) เป็นค่าที่ทำให้ \(f\) มีจุดสูงสุดสัมพัทธ์

ดังนั้น \(x=1\) เป็นค่าที่ทำให้ \(f\) มีจุดต่ำสุดสัมพัทธ์  ตอบ

1. กำหนดให้

\(A=\{1,2,3,4,5,6\}\)

\(B=\{1,2,3,\cdots ,11,12\}\)

\(S=\{(a,b)\in A\times B|b=2a+\frac{a}{2}\}\)

จำนวนสมาชิกของ \(S\) เท่ากับข้อใดต่อไปนี้ (o-net 51)

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4

วิธีทำ ข้อนี้จะเห็นว่า \(b\) ต้องเป็นตัวเลขที่เป็นจำนวนเต็มเหล่านี้คือ \(1,2,3,\cdots ,11,12\) ซึ่ง \(b=2a+\frac{a}{2}\) ดังนั้นตรง \(\frac{a}{2}\) ต้องหารกันลงตัว นั่นคือ \(a\) ต้องเป็นตัวเลขที่หารด้วย \(2\) ลงตัว แสดงว่าค่า \(a\) ที่เป็นไปได้คือ \(2,4,6\) ต่อไปเราก็ไปหาว่า ถ้า \(a\) เป็น \(2,4,6\) จะได้ \(b\) เป็นตัวอะไรบ้างเริ่มเลย

ถ้า \(a=2\) จะได้ \(b=2(2)+\frac{2}{2}=5\) นั่นคือจะได้คู่อันดับ \((2,5)\)

ถ้า \(a=4\) จะได้ \(b=2(4)+\frac{4}{2}=10\) นั่นคือจะได้คู่อันดับ \((4,10)\)

ถ้า \(a=6\) จะได้ \(b=2(6)+\frac{6}{2}=15\) นั่นคือจะได้คู่อันดับ \((6,15)\) ซึ่งจะเห็นว่าคูอันดับนี้ไม่อยู่ใน \(A\times B\) เพราะ \(15\) ไม่ได้อยู่ในเซต \(B\) 

ดังนั้นเราจะได้เซต \(S=\{(2,5),(4,10)\}\) นั่นคือ \(S\) มีสมาชิก \(2\) ตัวนั่นเอง

2. ถ้า \(A=\{1,2,3,4\}\) และ \(r=\{(m,n)\in A\times A | m\leq n\}\) แล้วจำนวนสมาชิกในความสัมพันธ์ \(r\)เท่ากับข้อใดต่อไปนี้

1. 8
2. 10
3. 12
4. 16

วิธีทำ ข้อนี้ง่ายสุดๆแล้ว ดูที่เงื่อนไขในเซต \(r\) คือให้เอา \(A\times A\) แล้วเลือกเอาตัวที่สมาชิกที่ตัวหน้าน้อยกว่าหรือเท่ากับตัวหลัง ดังนั้น จะได้ \(r\) ที่มีหน้าตาดังนี้

\(r=\{(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,2),(2,3),(2,4),(3,3),(3,4),(4,4)\}\) นั่นคือ \(r\) มีสมาชิก \(10\) ตัวนั่นเอง

3. ถ้ากราฟของ \(y=x^{2}-2x-8\) ตัดแกน \(X\) ที่จุด \(A,B\) และมี \(C\) เป็นจุดวกกลับ แล้ว รูปสามเหลี่ยม \(ABC\) มีพื้นที่เท่ากับข้อใดต่อไปนี้ (o-net 50 ข้อ 25)

1. 21 ตารางหน่วย
2. 24 ตารางหน่วย
3. 27 ตารางหน่วย
4. 30 ตารางหน่วย

วิธีทำ ข้อนี้วาดรูปประกอบจะง่ายครับผม  ก่อนอื่นหาจุดตัดบนแกน \(X\) ก่อน อย่าลืมนะว่าจุดตัดบนแกน \(X\) ค่าของ \(y=0\) ดังนั้นเรามาแก้สมการนี้ \(y=x^{2}-2x-8\) เพื่อหาจุดตัดบนแกน \(X\) กันเลย

\begin{array}{lcl}y=x^{2}-2x-8\\0&=&x^{2}-2x-8\\x^{2}-2x-8&=&0\\(x-4)(x+2)&=&0\\so\\x=4,-2\end{array}

นั่นคือ กราฟนี้มีจุดตัดบนแกน \(X\) คือ \((4,0)\) และ \((-2,0)\)

ต่อไปหาจุดวกกลับ เราจะใช้ความรู้เกี่ยวกับการดิฟในการหาจุดวกกลับ ก็คือ

• ดิฟสมการเส้นโค้งจะได้ความชันของเส้นโค้ง ณ จุดใดๆ
• ที่จุดวกกลับความชันของเส้นโค้งจะเท่ากับ \(0\)

เราก็เอาสมการเส้นโค้ง \(y=x^{2}-2x-8\)  มาดิฟเลย ความจริงสมการนี้ก็คือพาราโบลา แบบหงายนั่นแหละตอน ม.4 เรียนมาแล้ว เริ่มดิฟเลย

\begin{array}{lcl}y&=&x^{2}-2x-8\\y^{\prime}&=&2x-2\end{array}

นั้นคือตอนนี้เราได้ความชันเส้นโค้ง ณ จุดใดๆ คือ \(y^{\prime}=2x-2\)

แต่ที่จุดวกกลับความชันเส้นโค้งเท่ากับ \(0\) ดังนั้นเราสามารถหาพิกัดของ \(x\) ได้โดยการนำสมการนี้ \(y^{\prime}=2x-2\) ไปเท่ากับ \(0\) จะได้

\begin{array}{cl}2x-2&=&\\x&=&1\end{array}

นั่นคือที่จุดวกกลับมีพิกัด \(x=1\) 

ต่อไปหาว่าที่จุดวกกลับ พิกัด \(y\) จะเป็นเท่าใด

จากสมการนี้ \(y=x^{2}-2x-8\)  เราแทน \(x=1\) ลงไปในสมการก็จะได้ค่า \(y\) ออกมา

\begin{array}{lcl}y&=&x^{2}-2x-8\\y&=&(1)^{2}-(2)(1)-8\\y&=&-9\end{array}

นั่นคือจุดวกกลับอยู่ที่พิกัด \((1,-9)\) 

ตอนนี้ข้อมูลที่เราได้มีดังนี้ จุดตัดบนแกน \(X\) คือ \((4,0)\) และ \((-2,0)\) จุดวกกลับคือ \((1,-9)\) วาดรูปคร่าวได้ประมาณนี้

ดังนั้น พื้นที่ สามเหลี่ยม \(ABC=\frac{1}{2}\times 6\times 9=27\) ตารางหน่วย

ภาพข้างล่างเป็นอีกภาพหนึ่งเอาไว้ดูเพื่อให้เข้าใจมากยิ่งขึ้น

4. กำหนดให้ \(f(x)=-x^{2}+4x-10\) ข้อความใดต่อไปนี้ถูกต้อง (o-net 49 ข้อที่ 5)

1. \(f\) มีค่าต่ำสุดเท่ากับ -6
2. \(f\) ไม่มีค่าสูงสุด
3. \(f\) มีค่าสูงสุดเท่ากับ 6
4. \(f(\sqrt{\frac{9}{2}})<-6\)

วิธีทำ ถ้าเราดูจากสมการที่โจทย์ให้มาจะเห็นว่า \(f(x)=-x^{2}+4x-10\) เป็น พาราโบลา คว่ำ เพราะว่าสัมประสิทธิ์หน้า \(x^{2}\) ติดลบ เมื่อเป็นพาราโบลาคว่ำแสดงว่า มันไม่มีค่าต่ำสุด แต่มีค่าสูงสุด ซึ่งค่าสูงสุดก็คือจุดวกกลับนั่นเองครับ หาจุดวกกลับเลยครับผม

ทำการดิฟสมการพาราโบลาเลยคับ จะได้ว่า

\begin{array}{lcl}f(x)&=&-x^{2}+4x-10\\f^{\prime}(x)&=&-2x+4\end{array}

ดังนั้น เราได้ความชันของเส้นโค้งหรือความชันของพาราโบลา จุดใดๆ

ที่จุดวกกลับความชันจะเป็น \(0\) ดังนั้นเราสามารถหาค่า \(x\) ได้โดยจับสมการนี้ \(f^{\prime}(x)=-2x+4\) ไปเท่ากับ \(0\) จะได้

\begin{array}{lcl}f^{\prime}(x)&=&-2x+4\\0&=&-2x+4\\x&=&\frac{-4}{-2}\\x&=&2\end{array}

ดังนั้นที่จุดวกกลับมีพิกัด \(x=2\) ต่อไปหาพิกัด \(y\) บ้าง

จาก 

\begin{array}{lcl}f(x)&=&-x^{2}+4x-10\\f(x)&=&-(2)^{2}+(4)(2)-10\\f(x)&=&-4+8-10\\f(x)&=&-6\end{array}

นั่นคือที่จุดวกกลับมีค่า \(y=-6\) หรือก็คือค่าสูงสุดเท่ากับ \(-6\) นั่นเองครับ จากตัวเลือกจะเห็นว่าที่ถูกต้องที่สุดคือ ตัวเลือก 4. เพราะว่าค่าสูงสุดเป็น \(-6\) ดังนั้นไม่ว่าจะเอาไปอะไรใส่เข้าไปใน \(f(x)\) ต้องน้อยกว่า \(-6\) เสมอ

ดูภาพประกอบด้านล่าง

5. ถ้าจุด \(P\) เป็นจุดวกกลับของพาราโบลา \(y=-x^{2}+12x-38\) และ \(O\) เป็นจุดกำเนิด แล้ว ระยะห่างระหว่างจุด \(P\) และจุด \(O\) เท่ากับข้อใดต่อไปนี้ (o-net 49 ข้อ 6)

1. \(\sqrt{10}\) หน่วย
2. \(2\sqrt{10}\) หน่วย
3. \(\sqrt{13}\) หน่วย
4. \(2\sqrt{13}\) หน่วย

วิธีทำ ทำเหมือนเดิมคือดิฟสมการพาราโบลาเพื่อหาจุดวกกลับ 

\begin{array}{lcl}y&=&-x^{2}+12x-38\\y^{\prime}&=&-2x+12\end{array}

หาพิกัด \(x\) ของจุดวกกลับ จะได้

\begin{array}{lcl}y^{\prime}&=&-2x+12\\0&=&-2x+12\\x&=&\frac{-12}{-2}\\x&=&6\end{array}

ต่อไปหาพิกัด \(y\) ของจุดวกกลับ จะได้

\begin{array}{lcl}y&=&-x^{2}+12x-38\\y&=&-(6)^{2}+12(6)-38\\y&=&72-74\\y&=&-2\end{array}

ดังนั้นจุดวกกลับคือ \((2,-6)\) นั่นคือ ระยะห่างระหว่างจุดวกกลับกับจุดกำเนิด \(O(0,0)\) คือ

\(\sqrt{(2-0)^{2}+(-6-0)^{2}}=\sqrt{4+36}=\sqrt{40}=\sqrt{4\times 10}=2\sqrt{10}\)

6. ถ้าเส้นตรง \(x=3\) เป็นเส้นสมมาตรของกราฟของฟังก์ชัน \(f(x)=-x^{2}+(k+5)x+(k^{2}-10)\) เมื่อ \(k\) เป็นจำนวนจริง แล้ว \(f\) มีค่าสูงสุดเท่ากับข้อใดต่อไปนี้

1. -4
2. 0
3. 6
4. 14

วิธีทำ ข้อนี้ต้องอ่านโจทย์ดีนะคับ ข้อนี้กราฟที่เขาให้มาเป็นพาราโบลาหงายนะคับ \(x=3\) เป็นเส้นสมมาตรแสดงว่าจุดวกกลับคือจุด \((3,y)\) เราแค่หาพิกัด \(y\)  ก็จะได้ค่าสูงสุดที่เป็นคำตอบของข้อนี้คับผม  ก็ทำการดิฟเพื่อที่จะได้ความชัน แล้วเอาความชันไปเท่ากับ \(0\) เพื่อค่า \(k\) แล้วก็หาค่า \(y\) ต่อคับเริ่มเลย

\begin{array}{lcl}f(x)&=&-x^{2}+(k+5)x+(k^{2}-10)\\f^{\prime}(x)&=&-2x+k+5\end{array}

ต่อไปหาค่า \(k\) จุดวกกลับความชันเท่ากับ \(0\) ดังนั้น

\begin{array}{lcl}f^{\prime}(x)&=&-2x+k+5\\0&=&-2x+k+5\\0&=&(-2)(3)+k+5\\0&=&-6+k+5\\k&=&1\end{array}

ตอนนี้เราได้แค่ \(k\) แล้ว และจุดวกกลับคือจุด \((3,y)\) เราก็หาค่า \(y\) เลยจะได้

\begin{array}{lcl}f(x)&=&-x^{2}+(k+5)x+(k^{2}-10)\\f(3)&=&-(3)^{2}+(1+5)(3)+(1^{2}-10)\\f(3)&=&-9+18-9\\f(x)&=&0\end{array}

ดังนั้น \(f\) มีค่าสูงสุดคือ \(0\)

7. ถ้า \(g(x)=2x\) และ \((f\circ g)(x)=x^{2}-1\) แล้ว ค่าของ \((g^{-1}\circ f)(10)\) เท่ากับเท่าใด

วิธีทำ ข้อนี้เป็นข้สสอบ entrance เก่านะคับ ไม่ได้ยากมาก แต่ก็ต้องทำให้ได้ครับเพราะพวกข้อสอบวิชาสามัญ ข้อสอบ A-level ข้อสอบฟังก์ชันออกประมาณนี้คับผม เริ่มทำกันเลย

\begin{array}{lcl}(f\circ g)(x)&=&x^{2}-1\\f(g(x))&=&x^{2}-1\\f(2x)&=&x^{2}-1\\so\\ f(10)=f(2\cdot 5)\\f(2\cdot 5)&=&5^{2}-1\\f(10)&=&24\end{array}

ต่อไปก็เริ่มหาคำตอบกันเลยครับ

\begin{array}{lcl}(g^{-1}\circ f)(10)&=&g^{-1}(f(10))\\&=&g^{-1}(24)\\because\\ g(x)&=&2x\\so\\g(12)&=&2\cdot 12\\g(12)&=&24\\then\\g^{-1}(24)&=&12\quad\underline{Ans}\end{array}

8. กำหนดฟังก์ชัน \(f\) และ \(g\) ดังนี้

\(f(2x-1)=4x-a\quad ,\quad a>0\)

และ \(g^{-1}(x)=\sqrt{x+1}\)

ถ้า \((f\circ g)(a)=a^{2}+20\)

แล้ว \(f(a)\) มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้

1. 6
2. 7
3. 10
4. 17

วิธีทำ  ข้อนี้ต้องทำหลายขั้นตอนหน่อยคับ แต่ไม่ยาก เป็นข้อสอบ Entrance เก่าๆ เอามาเล่าใหม่คับ  เราจะเริ่มทำดังนี้นะคับ

\begin{array}{lcl}f(2x-1)&=&4x-a\\Let\quad A&=&2x-1\\x&=&\frac{A+1}{2}\\so\\f(A)&=&4(\frac{A+1}{2})-a\\f(A)&=&2A+2-a\quad\cdots (1)\end{array}

จากโจทย์ \(g^{-1}(x)=\sqrt{x+1}\) ดังนั้น

\(g(\sqrt{x+1})=x\) เริ่มทำต่อเลย

\begin{array}{lcl}g(\sqrt{x+1})&=&x\\Let\quad B&=&\sqrt{x+1}\\B^{2}&=&x+1\\x&=&B^{2}-1\\so\\g(B)&=&B^{2}-1\quad\cdots (2)\end{array}

ต่อไปเราจะเริ่มหาคำตอบแล้วนะคับ แต่ให้สังเกตสมการที่ \((1)\) และ สมการที่ \((2)\) ไว้ให้ดีๆ

โจทย์บอกว่า \((f\circ g)(a)=a^{2}+20\) ดังนั้น

\begin{array}{lcl}(f\circ g)(a)&=&a^{2}+20\\f(g(a))&=&a^{2}+20\\from\quad (2)\\ we\quad get\\f(a^{2}-1)&=&a^{2}+20 \\and\quad from\quad (1)\\ we\quad get \\2(a^{2}-1)+2-a&=&a^{2}+20\\2a^{2}-2+2-a&=&a^{2}+20\\a^{2}-a-20&=&0\\(a-5)(a+4)&=&20\\so\\a=5,-4\\but\quad a>0\\so\\a&=&5\end{array}

ต่อไปจะหาคำตอบจริงๆแล้ว

จากสมการที่ \((1)\)  คือ \(f(A)=2A+2-a\) จะได้ว่า

\begin{array}{lcl}f(a)&=&2a+2-a\\f(a)&=&a+2\\ because\quad a=5\\so\\f(5)&=&5+2\\&=&7\quad\underline{Ans}\end{array}