วันนี้ผมได้ผมได้เตรียมโจทย์สำหรับนักเรียนชั้น ม.5 ซึ่งเป็นเรื่องของฟังก์ชันตรีโกณมิติในส่วนของการหาค่าตรีโกณมิติโดยใช้สามเหลี่ยมมุมฉาก โจทย์แบบนี้เป็นโจทย์ยอดฮิต ใครทำไม่ได้นี่ถือว่ายังไม่ถึงแก่นแท้ของตรีโกณมิติ ซึ่งวิธีการทำก็ง่ายๆ ไม่ยากแค่ใช้เรื่องอัตรส่วนตรีโกณมิติมาช่วย กล่าวคือ
\(sin\theta =\frac{ด้านตรงข้ามมุม}{ด้านตรงข้ามมุมฉาก}\)
\(cos\theta=\frac{ด้านประชิดมุม}{ด้านตรงข้ามมุมฉาก}\)
\(tan\theta=\frac{ด้านตรงข้ามมุม}{ด้านประชิดมุม}\)
เรามาฝึกทำโจทย์กันเลยครับ
1.ถ้า \(cos^{2}\theta-sin^{2}\theta=\frac{1}{2}\) จงหาค่าของ \(cos\theta\)
เมื่อ \(\frac{\pi}{2}<\theta<\pi\)
วิธีทำ ข้อนี้เขาให้หาค่า \(cos\theta\) แสดงว่าจากสมการที่โจทย์กำหนดมาให้เราต้องเปลี่ยนตรงที่เป็นค่า \(sin^{2}\theta\) ให้อยู่ในรูปของ \(cos\theta\) ให้ได้ โดยใช้เอกลักกษณ์ของฟังชันตรีโกณมิติ คือ
\(sin^{2}\theta+cos^{2}\theta=1\) จะได้
\(sin^{2}\theta=1-cos^{2}\theta\) นำค่าไซน์กำลังสองนี้ไปแทนค่าในโจทย์นะ
จากโจทย์
\(cos^{2}\theta-sin^{2}\theta=\frac{1}{2}\) แทนค่าลงไปเลยจะได้
\(cos^{2}\theta-(1-cos^{2}\theta)=\frac{1}{2}\)
\(cos^{2}\theta-1+cos^{2}\theta=\frac{1}{2}\)
\(2cos^{2}\theta-1=\frac{1}{2}\)
\(2cos^{2}\theta=\frac{1}{2}+1\)
\(2cos^{2}\theta=\frac{3}{2}\)
\(cos^{2}\theta=\frac{3}{4}\)
\(cos\theta=\pm\sqrt{\frac{3}{4}}\)
\(cos\theta=\pm\frac{\sqrt{3}}{2}\)
แต่เนื่องจาก
\(\frac{\pi}{2}<\theta<\pi\) ความหมายก็คือทีตาหรือว่ามุมตกอยู่ควอดเร็นต์ที่ 2
ดั้งนั้นค่า cos จะเป็นลบ ดังนั้นข้อนี้ตอบ
\(cos\theta=-\frac{\sqrt{3}}{2}\quad Ans\)
2. กำหนดให้ \(\frac{\pi}{2}<\theta<\pi\) และ \(sin\theta=\frac{4}{5} จงหาค่าของ \sec\theta+cosec\theta\)
วิธีทำ จากโจทย์จะเห็นว่าทีตาตกอยู่ในควอดเร็นต์ที่ 2 ดังนั้น ค่าไซน์เป็นบวก ค่าคอสติดลบ
และโจทย์บอกว่า \(sin\theta=\frac{4}{5}\) ดังนั้น \(cosec\theta=\frac{5}{4}\) เพราะว่า cosec เป็นส่วนกลับของ sin
เราได้ค่า cosec แล้ว เหลือแต่ค่าชอง sec การที่จะหาค่า sec นั้น หาได้จากค่าของ cos เพราะ sec เป็นส่วนกลับของ cos ในที่นี้ผมจะหาค่า cos โดยใช้เอกลักษณ์ของตรีโกณมิติ คือ
จาก
\(sin^{2}\theta+cos^{2}\theta=1\) แทนค่า \(sin\theta=\frac{4}{5}\) ลงไป จะได้
\((\frac{4}{5})^{2}+cos^{2}\theta=1\)
\(\frac{16}{25}+cos^{2}\theta=1\)
\(cos^{2}\theta=1-\frac{16}{25}\)
\(cos^{2}\theta=\frac{9}{25}\)
\(cos\theta=\pm\sqrt{\frac{9}{25}}\)
\(cos\theta=\pm\frac{3}{5}\)
แต่เนื่องจาก \(\frac{\pi}{2}<\theta<\pi\) ก็คือ ทีตาตกอยู่ในควอดเร็นต์ที่ 2 ดั้งนั้นค่า cos ติดลบ
\(cos\theta=-\frac{3}{5}\)
sec เป็นส่วนกลับของ cos ดังนั้น
\(sec\theta=-\frac{5}{3}\)
ข้อนี้เขาให้เราหาค่าของ
\(sec\theta+cosec\theta=-\frac{5}{3}+\frac{5}{4}=\frac{-20+15}{12}=-\frac{5}{12}\quad Ans\)
3. กำหนดให้ \(0<\theta<\frac{\pi}{2}\) และ \(tan\theta=\frac{1}{3}\) จงหาค่าของ \(2cos\theta+cot\theta\)
วิธีทำ จากโจทย์ ทีตาตกในควอดเร็นต์ที่ 1 ค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติเป็นบวกหมด และจากโจทย์
\(tan\theta=\frac{1}{3}\) ดังนั้น \(cot\theta=3\) เพราะว่า cot เป็นส่วนกลับของ tan ต่อไปก็หาค่า cos
บ้าง แต่ในข้อนี้ผมจะหาค่า cos โดยเอาสามเหลี่ยมมุมฉากมาช่วย ไม่ทำเหมือนข้อ 2 นะ
จากที่เรารู้ว่า \(tan\theta=\frac{ด้านตรงข้ามมุม}{ด้านประชิดมุม}=\frac{1}{3}\) ดังนั้นเราจึงได้รูป
สามเหลี่ยมมุมฉากคือ
จาก \(cos\theta=\frac{ด้านประชิดมุม}{ด้านตรงข้ามมุมฉาก}=\frac{3}{\sqrt{10}}\)
จะได้ \(cos\theta=\frac{3}{\sqrt{10}}\)
จากที่โจทย์ถาม
\(2cos\theta+cot\theta=2\frac{3}{\sqrt{10}}+3=\frac{6}{\sqrt{10}}+3 \quad\quad Ans\)
4. กำหนดให้ \(sin\theta=\frac{1}{3}\) และ \(sec\theta<0\) จงหาค่าของ \(tan\theta\)
วิธีทำ \(sin\theta=\frac{1}{3}\) ซึ่งค่า sin มีค่าเป็นบวก และ \(sec\theta<0\) ค่าของ sec ก็น้อยกว่าศูนย์ก็คือค่า sec ติดลบ เนื่องจาก sec เป็นส่วนกลับของ cos ดังนั้นค่าของ cos น้อยกว่าศูนย์ด้วย เนื่องจาก cos น้อยกว่า 0 แต่ค่า sin เป็นบวกหรือมากกว่า 0 ดังนั้น ข้อนี้โจทย์ให้หาค่าของ tan เนื่องจาก \(tan\theta=\frac{sin}{cos}\) เนื่องจากค่า sin เป็นบวก ค่า cos เป็นลบ ด้งนั้นค่า tan หารออกมาเป็นลบ เรามาหาคำตอบข้อนี้เลยครับ
\(sin\theta=\frac{ด้านตรงข้ามมุม}{ด้านตรงข้ามมุมฉาก}=\frac{1}{3}\)
เนื่องจาก \(cos\theta=-\frac{2\sqrt{2}}{3}\) ค่า cos ต้องติดลบนะตามที่ได้อธิบายไว้ข้างบน
ดังนั้นค่า sin ก็รู้แล้ว ค่า cos ก็รู้แล้ว ดังนั้น สามาระหาค่า tan ได้
\(tan\theta=\frac{sin\theta}{cos\theta}=\frac{1/3}{-2\sqrt{2}/3}\)
\(tan\theta=-\frac{1}{2\sqrt{2}} \quad Ans\)
5. กำหนดให้ \(\cot\theta=5\) และ \(sin\theta<0\) แล้ว \(cos\theta\) เท่ากับเท่าไร
วิธีทำ จากโจทย์ ค่า cot เท่ากับ 5 ซึ่งมีค่าเป็นบวก และค่า sin น้อยกว่า 0 หรือว่าติดลบนั้นเอง
จาก \(cot\theta=\frac{cos\theta}{sin\theta}=5\) เนื่องจาก sin มีค่าติดลบ ดังนันค่า cos ต้องติดลบด้วย หารกันจึงจะได้บวก ดังนั้นของนี้หาค่า cos ออกมาต้องได้ค่าติดลบนะ
จาก \(cot\theta=\frac{ด้านประชิดมุม}{ด้านตรงข้ามมุม}=5\)
จะได้รูปสามเหลี่ยมมุมฉาก
\(cos\theta=\frac{ด้านประชิดมุม}{ด้านตรงข้ามมุมฉาก}\)
\(cos\theta=-\frac{5}{\sqrt{26}}\)
6.กำหนดให้ \(sec^{2}\theta+tan^{2}\theta=\frac{7}{2}\) และ \(\frac{\pi}{2}<\theta<\pi\) จงหาค่าของ \(cos\theta\)
วิธีทำ ข้อนี้ใช้เอกลักษณ์ตรีโกณมิติ
\(1+tan^{2}\theta=sec^{2}\theta\) จะได้
\(tan^{2}\theta=sec^{2}\theta-1\) เอาไปแทนค่าลงในโจทย์ครับ
จากโจทย์
\(sec^{2}\theta+tan^{2}\theta=\frac{7}{2}\)
\(sec^{2}\theta+sec^{2}\theta-1=\frac{7}{2}\)
\(2sec^{2}\theta=\frac{7}{2}+1\)
\(2sec^{2}\theta=\frac{9}{2}\)
\(sec^{2}\theta=\frac{9}{4}\)
\(sec\theta=\pm\frac{3}{2}\) sec เป็นส่วนกลับของ cos ดังนั้นจะได้
\(cos\theta=\pm\frac{2}{3}\)
แต่เนื่องจาก \(\frac{\pi}{2}<\theta<\pi\) ก็คือ ทีตาตกในควอดเร็นต์ที่ 2 ค่า cos เป็นลบ ดังนั้นข้อนี้
\(cos\theta=-\frac{2}{3}\quad Ans\)