หลังจากที่เราเรียนฟังก์ชันตรีโกณมิติ ซึ่งมี sine cosine tangent วันนี้เราก็มาดูว่าผกผันหรือว่าอินเวอร์สของฟังก์ชันเหล่านี้เป็นอย่างไร วันจะเริ่มต้นที่ผกผันของฟังก์ชันไซน์ก่อนผกผันผันของฟังก์ชันไซน์ เรียกว่า อาร์คไซน์ (arcsine)
เราจะเริ่มศึกษาเจ้า arcsine หรือว่าผกผันของฟังก์ชันไซน์ จากกราฟของฟังก์ชันไซน์นะครับ
กราฟของฟังก์ชันไซน์หรือว่ากราฟของ \(y=sin\theta\) มีหน้าตาดังรูปด้านล่างครับ คิดว่าหลาย
คนน่าจะวาดเป็น อันนี้ผมใช้โปรแกรม geogebra วาดนะ
ซึ่งจากรูปจะเห็นว่าโดเมนของฟังก์ชันไซน์คือ จำนวนจริงใดๆ
ส่วนเรนจ์ของฟังก์ชันไซน์คือจำนวนจริงที่อยู่ในช่วง [-1,1]
ต่อไปเรามาดูกราฟผกผันของฟังก์ชันไซน์นะคับว่ามันจะเป็นอย่างไร ชื่อก็แล้วแล้วว่าผกผันดัง
นัั้นกราฟก็จะเป็นลักษณ์ที่กลับกันดังรูปครับ
จากรูปภาพด้านบนซึ่งเป็นกราฟผกผันของฟังก์ชันไซน์
มีโดเมนเป็นอยู่ในช่วง [-1,1]
และมีเรนจ์เป็นจำนวนจริงใดๆ
ดังนั้นเห็นชัดว่าจากกราฟผกผันของฟังก์ชันไซน์นั้นยังไม่เป็นฟังก์ชัน ดังนั้น ถ้าอยากให้มันเป็น
ฟังก์ชันเราจำเป็นต้องจำกัดช่วงของเรนจ์ให้อยู่ในช่วง \([-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]\)
ซึ่งเราจะได้กราฟของผกผันของฟังก์ชันไซน์หรือว่า arcsine ใหม่ดังรูปด้านล่างซึ่งเป็นฟังก์ชัน
แล้วดูจากรูปด้านล่างนะครับ
นี่คือกราฟของฟังก์ชัน arcsine นะครับซึ่งจากรูปจะเห็นได้ว่า
โดเมนของฟังก์ชัน arcsine คือจำนวนจริง่ที่อยู่ในช่วง \([-1,1]\)
ส่วนเรนจ์ของฟังก์ชัน arcsine คือจำนวนจริงที่อยู่ในช่วง \([-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]\)
ดังนั้น ถ้าให้ \(\theta=arcsin(x)\) จะได้ว่า \(\theta\in[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]\)
นี้คือฟังก์ชัน arcsine นะครับผมสรุปให้สั้นที่สุดได้แค่นี้ ผิดพลาดตรงไหนบอกด้วยครับ ต่อไป
เรามาดูการทำแบบฝึกหัดเกี่ยวกับฟังก์ชัน arcsine กันต่อครับ
1.จงหาค่าต่อไปนี้
1) \(arcsin(-1)\)
วิธีทำ ให้ \(arcsin(-1)=\theta\)
เราจะได้ว่า \(sin\theta=-1 \) เมื่อ \(\theta \in [-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]\)
เนื่องจาก \(sin(-\frac{\pi}{2})=-1\)
ดังนั้น \(\theta=-\frac{\pi}{2}\)
เราจึงได้ว่า \(arcsin(-1)=-\frac{\pi}{2}\)
2) \(arcsin(\frac{\sqrt{2}}{2})\)
วิธีทำ ให้ \(arcsin\frac{\sqrt{2}}{2}=\theta\)
เราจะได้ว่า \(sin\theta=\frac{\sqrt{2}}{2}\) เมื่อ \(\theta \in [-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]\)
เนื่องจาก \(sin(\frac{\pi}{4})=\frac{\sqrt{2}}{2}\)
ดังนั้น \(\theta=\frac{\pi}{4}\)
เราจึงได้ว่า \(arcsin(\frac{\sqrt{2}}{2})=\frac{\pi}{4}\)
ทำแบบฝึกหัดและอ่านเพิ่มเติมเกี่ยวกับ arccos arctan ตามลิงค์นี้เลยครับแบบฝึกหัดผกผันฟังก์ชันตรีโกณมิติ