ให้ Z เป็นจำนวนเชิงซ้อนใดๆ รากที่ n ของจำนวนเชิงซ้อน z จะมีอยู่จำนวน n ราก(ยกเว้น z=0)
ในการหารากที่ n ของจำนวนเชิงซ้อน z ผมขอสรุปเป็นวิธีการในการหาง่ายๆดังนี้ ส่วนใครอยากรู้เพิ่มเติมสามารถหาอ่านได้ตามหนังสือคณิตศาสตร์เพิ่มเติม ม.5 ของ สสวท.ได้น่ะจ๊ะ
1. ถ้าโจทย์ให้จำนวนเชิงซ้อนมาในรูป z=x+yi เป็นต้องแปลงจำนวนเชิงซ้อน z ให้อยู่ในรูปเชิงขั้วก่อน คืออยู่ในรูป \( z=r(cos\theta+isin\theta)\)
2.รากตัวที่ 1จะมีค่าเป็น \(\sqrt[n]{r}\left(cos\frac{\theta}{n}+isin\frac{\theta}{n}\right)\)
3.รากตัวที่ 2 จะเหมือนรากตัวที่ 1 แตกต่างกันที่มุมโดยต้องเพิ่มมุมของรากตัวที่ 1 ไปอีก
\(\frac{360^\circ}{n}\)
4. รากตัวที่ 3 ก็เพิ่มมุมในรากตัวที่ 2 ไปอีกเหมือนเดิมคือบวกเพิ่มไปอีก \(\frac{360^\circ}{n}\)
5. ทำแบบนี้ไปเรื่อยๆจนครบ n ราก
หลายคนอ่านแล้วอาจจะงง ซึ่งไม่เป็นไรครับ ต้องไปดูต้วอย่างหรือถ้าผมขยันผมจะทำเป็นวิดีโอให้ดูครับ ไปดูตัวอย่างกันเลย
ตัวอย่างที่ 1 กำหนดให้ \(z^{3}=\sqrt{3}-i\) จงหาค่าของ z
วิธีทำ โจทย์กำหนด แซดกำลังสามมาให้เท่ากับรูทสามลบไอ ให้หาค่าของแซด ดังนั้นเราจะได้ว่า ค่าของแซด ก็คือ รากที่ 3 ของ \(\sqrt{3}-i\) นั่นเองคับ
ในข้อนี้คือหารากที่ 3 (รากที่ n) ของ \(\sqrt{3}-i\)
(n=3 น่ะ จำไว้เลยเพราะหารากที่สามดังนั้นn=3)
ขั้นตอนที่ 1 ต้องแปลง \(\sqrt{3}-i\quad\) ให้อยู่ในรูปเชิงขั้วก่อน จากตรงนี้เราจะได้
\(x=\sqrt{3},y=-1\)
\(r=\sqrt{\sqrt{3}^{3}+(-1)^{2}}=2\)
\(tan\theta=\frac{-1}{\sqrt{3}}\) ดังน้้น \(\theta=330^\circ\) ใครทำเชิงขั้วไม่เป็นไปอ่านนะ
ดังนั้น \(\sqrt{3}-i\quad\) ถ้าเขียนให้อยู่ในรูปเชิงขั้วคือ \(2(cos330^\circ+isin330^\circ)\)
ขั้นตอนที่ 2 หาราก
รากตัวที่ 1 คือ \(\sqrt[3]{2}\left(cos\frac{330^\circ}{3}+isin\frac{330^\circ}{3}\right)\)
นั้นคือรากตัวที่ 1 คือ \(\sqrt[3]{2}\left(cos110^\circ+isin110^\circ\right)\)
มุมของรากตัวที่ 1 คือเกิดจากเอามุมที่ได้จากการทำเป็นเชิงขั้วหารด้วย n และnในข้อนี้คือ 3
รากตัวที่ 2 คือ คือ \(\sqrt[3]{2}\left(cos230^\circ+isin230^\circ\right)\)
มุมของรากตัวที่ 2 คือเกิดจากเอามุมของรากตัวที่ 1 บวกกับ \(\frac{360}{n}\) ในข้อนี้ n=3 ก็คือต้องเอาไปบวกกั้บ \(\frac{360^\circ}{3}=120^\circ\)
และมุมของรากตัวที่ 3 ก็เอามุมของรากตัวที่สองบวกเพิ่มอีก 120 องศา นะจะได้
รากตัวที่ 3 คือ \(\sqrt[3]{2}\left(cos350^\circ+isin350^\circ\right)\)
ครบ 3 รากก็หยุด ดังนั้น z ก็มีสามตัวก็คือรากตัวที่ 1 ถึงตัวที่ 3 ดังที่หาไว้แล้วด้านบน Ans
ตัวอย่างที่ 2 จงหารากที่ 4 ของ \(-8+8\sqrt{3}i\)
วิธีทำ เหมือนเดิมครับคือทำ \(-8+8\sqrt{3}i\quad\) ให้เป็นเชิงขั้วก่อนจะได้
\(x=-8,y=8\sqrt{3}\)
\(r=\sqrt{(-8)^{2}+(8\sqrt{3})^{2}}=\sqrt{256}=16\)
\(tan\theta=\frac{8\sqrt{3}}{-8}=-\sqrt{3}\)
ดังนั้น \(\theta=120^\circ\)
หารากตัวที่ 1 \(\sqrt[4]{16}\left(cos\frac{120^\circ}{4}+isin\frac{120^\circ}{4}\right)\)
\(2(cos30^\circ+isin30^\circ)\)
\(2(\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i)\)
\(\sqrt{3}+i\)
หารากตัวที่ 2 คราวนี้มุมจะเพิ่มขึ้นครั้งละ \(\frac{360^\circ}{4}=90^\circ\) จะได้
\(\sqrt[4]{16}\left(cos120^\circ+isin120^\circ\right)\)
\(2(-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i)\)
\(-1+\sqrt{3}i\)
หารากตัวที่ 3 เอามุมในรากตัวที่สองบวกเพิ่มอีก 90 องศา จะได้
\(\sqrt[4]{16}\left(cos210^\circ+isin210^\circ\right)\)
\(2(-\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}i)\)
\(-\sqrt{3}-i\)
หารากตัวที่ 4 เอามุมในรากตัวที่สามบวกเพิ่มอีก 90 องศา จะได้
\(\sqrt[4]{16}\left(cos300^\circ+isin300^\circ\right)\)
\(2(\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i)\)
\(1-\sqrt{3}i\)
ครบ 4 ตัวแล้วก็หยุด
ดังนั้นรากที่ 4 ของ \(-8+8\sqrt{3}i\) คือ
\(\sqrt{3}+i\quad\),\(-1+\sqrt{3}i\quad\) ,\(-\sqrt{3}-i\quad\),\(1-\sqrt{3}i\) Ans
ข้างบนเป็นการหารากที่ n โดยวิธีการอีกแบบหนึ่ง แต่ถ้าใครไม่ถนัดก็สามารถหารากที่ n ของจำนวนเชิงซ้อนได้อีกตามทฤษฎีบทนี้ครับ
ทฤษฏีบทการหารากที่ n ของจำนวนเชิงซ้อน
ถ้า \(w=r(cos\theta+isin\theta)\) \(\quad\) แล้วรากที่ n ของ w จะมีทั้งหมด n รากที่แตกต่างกัน คือ \(z=\sqrt[n]{r}\left[cos\left(\frac{\theta+2k\pi}{n}\right)+isin\left(\frac{\theta+2k\pi}{n}\right)\right]\)
เมื่อ \(k\in\{0,1,2,3,...,n-1\}\)
อ่านทฤษฏีบทแล้วอาจจะงวยงง เรามาลองทำแบบฝึกหัดกันครับ
ตัวอย่าง จงหารากที่ 3 ของจำนวนเชิงซ้อนต่อไปนี้
1. หารากที่ 3 ของ i
วิธีทำ จาก ทฤษฏีบทของรากที่ n ของจำนวนเชิงซ้อนจะได้ว่า รากที่ 3 ของ i จะมี 3 ราก
จาก i=0+i ดังนั้น x=0 , y=1 จาก \(r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}=\sqrt{0^{2}+1^{2}}=1\)
นั่นคือ r=1
จาก \(\theta=\frac{y}{x}=\frac{1}{0}\) หาค่าไม่ได้ 555 ไม่ต้องเป็นห่วงครับทำต่อได้ จะเห็นว่า x=0 และ y=1 คือจุดที่ตกอยู่บนแกน Y มองออกไหม ดังนั้น \(\theta\) คือมุมที่ทำกับแกน Y ดังนั้น
\(\theta = 90^{\circ}\) หรือ \(\theta=\frac{\pi}{2}\) นั่นเอง
รากตัวที่ 1 คือ (แทนค่าลงไปในสูตรตามทฤษฏีบทด้านบนเลยนะคับ) เริ่มที่ k=0 หารากที่ 3 เพราะฉะนั้น n=3
\(z=\sqrt[3]{1}\left[cos\left(\frac{\frac{\pi}{2}+2(0)\pi}{3}\right)+isin\left(\frac{\frac{\pi}{2}+2(0)\pi}{3}\right)\right]\)
\(z=\sqrt[3]{1}\left[cos\left(\frac{\frac{\pi}{2}}{3}\right)+isin\left(\frac{\frac{\pi}{2}}{3}\right)\right]\)
\(z=\sqrt[3]{1}\left[cos\left(\frac{\pi}{6}\right)+isin\left(\frac{\pi}{6}\right)\right]\)
\(z=\sqrt[3]{1}\left[\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)+\left(\frac{1}{2}i\right)\right]\)
\(z=1\left[\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)+\left(\frac{1}{2}i\right)\right]\)
รากตัวที่ 2 n=3 แต่ k=1
ผมจะทำแบบลัดๆนะ ไม่ละเอียดเหมือน ข้างบนแล้วนะ แต่วิธีการเหมือนเดิมคือ แทน n=3 และ k=1 ลงไปในสูตรแล้วบวกลบคูณหารออกมาครับ
\(z=\sqrt[3]{1}\left[cos\left(\frac{5\pi}{6}\right)+isin\left(\frac{5\pi}{6}\right)\right]\)
\(z=\sqrt[3]{1}\left[\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)+\left(\frac{1}{2}i\right)\right]\)
\(z=\left[\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)+\left(\frac{1}{2}i\right)\right]\)
รากตัวที่ 3 n=3 แต่ k=2
ผมจะทำแบบลัดๆนะ ไม่ละเอียดเหมือน ข้างบนแล้วนะ แต่วิธีการเหมือนเดิมคือ แทน n=3 และ k=2 ลงไปในสูตรแล้วบวกลบคูณหารออกมาครับ
\(z=\sqrt[3]{1}\left[cos\left(\frac{3\pi}{2}\right)+isin\left(\frac{53pi}{2}\right)\right]\)
\(z=\sqrt[3]{1}\left[\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)+\left(\frac{1}{2}i\right)\right]\)
\(z=0-i\)
\(z=-i\)
คำตอบก็มี 3 ตัวที่เห็นนั่นแหละ คือ
\(\left[\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)+\left(\frac{1}{2}i\right)\right]\)
\(\left[\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)+\left(\frac{1}{2}i\right)\right]\)
\(z=-i\)
2. หารากที่ 3 ของ \(8\left(cos\frac{\pi}{3}+isin\frac{\pi}{3}\right)\)
วิธีทำ จะได้ว่า r= 8 , \(\theta=\frac{\pi}{3}\)
รากตัวที่ 1 คือ (แทนค่าลงไปในสูตรตามทฤษฏีบทด้านบนเลยนะคับ) เริ่มที่ k=0 หารากที่ 3
ฉะนั้น n=3
\(z=\sqrt[3]{8}\left[cos\left(\frac{\frac{\pi}{3}+2(0)\pi}{3}\right)+isin\left(\frac{\frac{\pi}{3}+2(0)\pi}{3}\right)\right]\)
\(z=2\left[cos\left(\frac{\pi}{9}\right)+isin\left(\frac{\pi}{9}\right)\right]\)
รากตัวที่ 2 n=3 แต่ k=1
\(z=2\left[cos\left(\frac{7\pi}{9}\right)+isin\left(\frac{7\pi}{9}\right)\right]\)
รากตัวที่ 3 n=3 แต่ k=2
\(z=2\left[cos\left(\frac{13\pi}{9}\right)+isin\left(\frac{13\pi}{9}\right)\right]\)
คำตอบก็มี 3 ตัวที่เห็นนั่นแหละ คือ
\(z=2\left[cos\left(\frac{\pi}{9}\right)+isin\left(\frac{\pi}{9}\right)\right]\)
\(z=2\left[cos\left(\frac{7\pi}{9}\right)+isin\left(\frac{7\pi}{9}\right)\right]\)
\(z=2\left[cos\left(\frac{13\pi}{9}\right)+isin\left(\frac{13\pi}{9}\right)\right]\)
ตัวอย่าง จงหารากที่ 4 ของ \(2+2\sqrt{3}i\)
วิธีทำ ก่อนที่จะใช้สูตรได้ต้อง ทำให้จำนวนเชิงซ้อนที่โจทย์ให้มาเป็นจำนวนเชิงซ้อนในรูปเชิงขั้วก่อน
อ่านเอาตามลิงค์นะ จะได้ในรูปเชิงขั้วคือ \(4(cos\frac{\pi}{3}+isin\frac{\pi}{3})\)
นั่นคือ r=4 และ \(\theta=\frac{\pi}{3}\)
รากตัวที่ 1 คือ แทน n=4 k=0
\(z=\sqrt[4]{4}(cos\frac{\pi}{12}+isin\frac{\pi}{12})\)
\(z=\sqrt{2}(cos\frac{\pi}{12}+isin\frac{\pi}{12}\)
***note \(\sqrt[4]{4}=4^{\frac{1}{4}}=2^{2\times \frac{1}{4}}=2^{\frac{1}{2}}=\sqrt{2}\)
รากตัวที่ 2 คือ แทน n=4 k=1
\(z=\sqrt{2}(cos\frac{7\pi}{12}+isin\frac{7\pi}{12}\)
รากตัวที่ 3 คือ แทน n=4 k=2
\(z=\sqrt{2}(cos\frac{13\pi}{12}+isin\frac{13\pi}{12}\)
รากตัวที่ 4 คือ แทน n=4 k=3
\(z=\sqrt{2}(cos\frac{19\pi}{12}+isin\frac{19\pi}{12}\)