ค่าสัมบูรณ์ของจำนวนเชิงซ้อน

วันนี้มีเวลาว่างนิดหน่อยก็เลยสละเวลาอันน้อยนิดมาเขียนบทความเล็กๆน้อยๆ ซึ่งเป็นเนื้อหาเกี่ยวกับเรื่อง

ค่าสัมบูรณ์ของจำนวนเชิงซ้อน ไม่ขอเขียนยือยาวขอสรุปให้เลยแล้วกันน่ะ และมีตัวอย่างประกอบเล็กน้อย ใครอ่านแล้วไม่เข้าใจก็ถามได้นะ ไม่ต้องเกรงใจ

ให้ \(z=x+yi\)  เป็นจำนวนเชิงซ้อน

ค่าสัมบูรณ์ของ z เขียนแทนด้วย  \(|z|\)    ซึ่ง

\(|z|=\sqrt{x^{2}+y^{2}}\)   ก็คือเอาส่วนจริงและส่วนจินตภาพยกกำลังสองบวกกันใส่รูท

ตัวอย่างที่ 1  จงหาค่าสัมบูรณ์ของจำนวนเชิงซ้อนต่อไปนี้

1.1 \(z_{1}=3+4i\)

วิธีทำ  จะเห็นว่า  x=3  ,y=4

\(|z_{1}|=\sqrt{x^{2}+y^{2}}\)

\(|z_{1}|=\sqrt{3^{2}+4^{2}}\)

\(|z_{1}|=\sqrt{9+16}\)

\(|z_{1}|=\sqrt{25}\)

\(|z_{1}|=5\)

1.2 \(z_{2}=3-2i\)

วิธีทำ จะเห็นว่า x=3 , y=-2

\(|z_{2}|=\sqrt{3^{2}+(-2)^{2}}\)

\(|z_{2}|=\sqrt{9+4}\)

\(z_{2}=\sqrt{13}\)

1.3 \(z_{3}=1-i\)

วิธีทำ จะเห็นว่า x=1 ,y=-1

\(|z_{3}|=\sqrt{1^{2}+(-1)^{2}}\)

\(|z_{3}|=\sqrt{1+1}\)

\(|z_{3}|=\sqrt{2}\)

 1.4  \(z_{4}=-\sqrt{3}-i\)

วิธีทำ  จะเห็นว่า  \(x=-\sqrt{3},y=-1\)

\(|z_{4}|=\sqrt{(-\sqrt{3})^{2}+(-1)^{2}}\)

\(|z_{4}|=\sqrt{3+1}\)

\(|z_{4}|=2\)

 1.5 \(z_{5}=(1+3i)-(2+i)\)

วิธีทำ  จะเห็นว่าการที่เราจะหาค่าสัมบูรณ์ข้อนี้ได้เราต้องทำการลบจำนวนเชิงซ้อนก่อน จัดรูปก่อนนั่นเอง

\(z_{5}=(1+3i)-(2+i)\)

\(z_{5}=1+3i-2-i\)

\(z_{5}=-1+2i\)    จะเห็นว่า x=-1,y=2

\(|z_{5}|=\sqrt{(-1)^{2}+(2)^{2}}\)

\(|z_{5}|=\sqrt{1+4}\)

\(|z_{5}|=\sqrt{5}\)

 ต่อไปเรามาดูสมบัติที่สำคัญของค่าสัมบูรณ์ของจำนวนเชิงซ้อนกันดีกว่าคับ

\(1.\quad |z|=|-z|=|\bar{z}|=|-\bar{z}|\)

\(2.\quad |z|^{2}=z\cdot \bar{z}\)

\(3. \quad |z^{n}|=|z|^{n}\)

 \(4. \quad |z_{1}\cdot z_{2}|=|z_{1}||z_{2}|\)

\(5. \quad |\frac{z_{1}}{z_{2}}|=\frac{|z_{1}|}{|z_{2}|}\)

\(6. \quad |z_{1}+z_{2}|^{2}=|z_{1}|^{2}+|z_{2}|^{2}+(z_{1}\bar{z_{2}}+\bar{z_{1}}z_{2})\)

\(\quad\quad |z_{1}-z_{2}|^{2}=|z_{1}|^{2}+|z_{2}|^{2}-(z_{1}\bar{z_{2}}+\bar{z_{1}}z_{2})\)

 เราจะนำสมบัติเหล่านี้มาช่วยในการหาค่าสัมบูรณ์ของจำนวนเชิงซ้อน ดังนี้

ตัวอย่างที่ 2 จงหาสัมบูรณ์ของจำนวนต่อไปนี้

1.1  \(z=(1+3i)(2+i)\)

วิธีทำ  \(z=(1+3i)(2+i)\)

\(|z|=|(1+3i)(2+i)|\)

\(|z|=|1+3i||2+i|\)

\(|z|=\sqrt{1^{2}+3^{2}}\cdot\sqrt{2^{2}+1^{2}}\)

\(|z|=\sqrt{10}\sqrt{5}\)

\(|z|=\sqrt{50}\)

\(|z|=5\sqrt{2}\)

 1.2 \(z=\frac{(1-i)^{15}}{(1+i)^{9}}\)

วิธีทำ  \(z=\frac{(1-i)^{15}}{(1+i)^{9}}\)

\(|z|=|\frac{(1-i)^{15}}{(1+i)^{9}}|\)

\(|z|=\frac{|(1-i)^{15|}}{|(1+i)^{9}|}\)

\(|z|=\frac{|(1-i)|^{15}}{|1+i|^{9}}\)

\(|z|=\frac{\big(\sqrt{1^{2}+(-1)^{2}}\big)^{15}}{\big(\sqrt{1^{2}+1^{2}}\big)^{9}}\)

\(|z|=\frac{(\sqrt{2})^{15}}{(\sqrt{2})^{9}}\)

\(|z|=\sqrt{2}^{15-9}\)

\(|z|=\sqrt{2}^{6}\)

\(|z|=8\)

 ตัวอย่างที่ 3 กำหนดให้ \(z_{1},z_{2}\)  เป็นจำนวนเชิงซ้อนซึ่ง  \(|z_{1}+z_{2}|^{2}=5   และ |z_{1}-z_{2}|^{2}=1\)   จงหาค่าของ   \(|z_{1}|^{2}+|z_{2}|^{2}\)

 วิธีทำ ข้อนี้ใช้สมบัติข้อที่ 6  มาช่วยในการหาคำตอบน่ะ

                           จาก \(|z_{1}+z_{2}|^{2}=5\)

\(|z_{1}|^{2}+|z_{2}|^{2}+(z_{1}\bar{z_{2}}+\bar{z_{1}}z_{2})=5\)    ให้เป็นสมการที่ 1

                           จาก\(|z_{1}-z_{2}|^{2}=1\)

\(|z_{1}|^{2}+|z_{2}|^{2}-(z_{1}\bar{z_{2}}+\bar{z_{1}}z_{2})=1\)      ให้เป็นสมการที่ 2

 นำสมการที่ 1 +  สมการที่ 2  จะได้

\(2(|z_{1}|^2+|z_{2}|^{2})=5+1\)

\(|z_{1}|^{2}+|z_{2}|^{2}=\frac{6}{2}=3  \quad Ans\)

ติดต่อเรา wisanu.kkung@gmail.com