1. กำหนดให้ \(R\) แทนเซตของจำนวนจริง ถ้า \(f:R\rightarrow R\) และ \(g:R\rightarrow R\) เป็นฟังก์ชัน โดยที่ \(f(x)=3x^{\frac{2}{3}}\) ,\(g(1)=8\) และ \(g^{\prime}(1)=\frac{2}{3}\) ค่าของ \((f\circ g)^{\prime}(1)\) เท่ากับเท่าใด [Pat1 มี.ค.53/18]
วิธีทำ
เนื่องจาก
\begin{array}{lcl}(f\circ g)(x)&=&f(g(x))\\&=&3\cdot (g(x))^{\frac{2}{3}}\end{array}
ดังนั้น
\begin{array}{lcl}(f\circ g)^{\prime}(x)&=&f^{\prime}(g(x))\\&=&\left(3\cdot (g(x))^{\frac{2}{3}}\right)^{\prime}\\&=&3\cdot \frac{2}{3}(g(x))^{-\frac{1}{3}}\cdot g^{\prime}(x)\end{array}
เพราะฉะนั้นจึงได้
\begin{array}{lcl}(f\circ g)^{\prime}(1)&=&f^{\prime}(g(1))\\&=&\left(3\cdot (g(1))^{\frac{2}{3}}\right)^{\prime}\\&=&3\cdot \frac{2}{3}(g(1))^{-\frac{1}{3}}\cdot g^{\prime}(1)\\&=&2\cdot 8^{-\frac{1}{3}}\cdot \frac{2}{3}\\&=&\frac{2}{3}\end{array}
2. ให้ \(R\) แทนเซตของจำนวนจริง ให้ \(f:R\rightarrow R\quad , g:R\rightarrow R\) และ \(h:R\rightarrow R\) เป็นฟังก์ชันที่มีอนุพันธ์ทุกอันดับโดยที่ \(h(x)=x^{2}+4\quad , g(x)=h(f(x)-1)\) และ \(f^{\prime}(1)=g^{\prime}(1)=1\) แล้วค่าของ \(f(1)\) เท่ากับเท่าใด [Pat1 มี.ค.55/18]
วิธีทำ
เนื่องจาก \(h(x)=x^{2}+4\)
และ \(g(x)=h(f(x)-1)\) จึงได้ว่า
\begin{array}{lcl}g(x)&=&h(f(x)-1)\\&=&[f(x)-1]^{2}+4\\&=&[f(x)]^{2}-2\cdot f(x)+1+4\\&=&[f(x)]^{2}-2\cdot f(x)+5\end{array}
ตอนนี้เรารู้ว่า \(g(x)=[f(x)]^{2}-2\cdot f(x)+5\)
จึงได้ว่า
\begin{array}{lcl}g^{\prime}(x)&=&2\cdot f(x)\cdot f^{\prime}(x)-2\cdot f^{\prime}(x)\end{array}
นั่นก็คือ
\begin{array}{lcl}g^{\prime}(1)&=&2\cdot f(1)\cdot f^{\prime}(1)-2\cdot f^{\prime}(1)\\1&=&2\cdot f(1)\cdot 1-2(1)\\f(1)&=&\frac{3}{2}\end{array}
3) กำหนดให้ \(\mathbb{R}\) แทนเซตของจำนวนจริง ให้ \(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\) เป็นฟังก์ชันที่สามารถหาอนุพันธ์ได้ และสอดคล้องกับ \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow 2}\frac{x^{2}+x-6}{\sqrt{1+f(x)}-3}=6\) และ \(1+f(x)\geq 0\) สำหรับทุกจำนวนจริง \(x\) ถ้าเส้นตรง \(6x-y=4\) ตัดกับกราฟ \(y=f(x)\) ที่ \(x=2\) แล้วค่าของ \(f^{\prime}(2)\) เท่ากับเท่าใด[Pat 1 ต.ค.58/33]
วิธีทำ ข้อนี้ต้องใช้กฏโลปิตาล แต่ใช้ไม่เยอะครับ เอาละเรามาลองวิเคราะห์โจทย์และทำไปทีละขั้นตอนกันครับผม ซึ่งโจทย์บอกว่า เส้นตรง \(6x-y=4\) ตัดกราฟ \(y=f(x)\) ที่ \(x=2\) นั่นคือกราฟสองกราฟนี้ตัดกันที่จุดต่อไปนี้
\begin{array}{lcl}6x-y&=&4\\6(2)-y&=&4\\y&=&8\end{array}
นั่นคือ กราฟสองกราฟนี้ตัดกันที่จุด \((2,8)\) นั่นเองครับหรือก็คือ \(f(2)=8\) นั่นเองครับ
ที่นี้เราไปดูต่อครับ จะเห็นว่าลิมิตที่เขาให้หาคือ
\(\displaystyle\lim_{x\rightarrow 2}\frac{x^{2}+x-6}{\sqrt{1+f(x)}-3}\)
เมื่อแทนค่า \(x\) ด้วย \(2\) ลงไปในลิมิตนี้จะได้ค่าคือ
\begin{array}{lcl}\displaystyle\lim_{x\rightarrow 2}\frac{x^{2}+x-6}{\sqrt{1+f(x)}-3}&=&\frac{2^{2}+2-6}{\sqrt{2+f(2)}-3}\\&=&\frac{6-6}{\sqrt{1+8}-3}\\&=&\frac{0}{0}\end{array}
นั่นก็คือการที่เราจะต้องใช้กฏโลปิตาลในการแก้โจทย์ข้อนี้ เพื่อหาค่า \(f^{\prime}(2)\) ออกมาให้ได้ครับ
เริ่มใช้กฏโลปิตาลกันเลยนั่นก็คือ หาอนุพันธ์ของตัวเศษก่อน
\(\frac{d}{dx}(x^{2}+x-6)=2x+1\)
ต่อไปก็คือหาหาอนุพันธ์ของตัวส่วน หาอนุพันธ์ของตัวส่วนยากหน่อยเพราะต้องใช้ความรู้เกี่ยวกับอนุพันธ์ของฟังก์ชันประกอบ
\begin{array}{lcl}\frac{d}{dx}(\sqrt{1+f(x)}-3)&=&\frac{d}{dx}(1+f(x))^{\frac{1}{2}}-3\\&=&\frac{1}{2}(1+f(x))^{-\frac{1}{2}}\cdot f^{\prime}(x)\end{array}
เมื่อดิฟหรือใช้กฏโลปิตาลเสร็จแล้วเราก็หาลิมิตต่อครับ
\begin{array}{lcl}\displaystyle\lim_{x\rightarrow 2}\frac{2x+1}{\frac{1}{2}(1+f(x))^{-\frac{1}{2}}\cdot f^{\prime}(x)}&=&\frac{2(2)+1}{\frac{1}{2}(1+f(2))^{-\frac{1}{2}}\cdot f^{\prime}(2)}\\&=&\frac{5}{\frac{1}{2}(1+8)^{-\frac{1}{2}}\cdot f^{\prime}(2)}\\&=&\frac{5}{\frac{1}{2}(9)^{-\frac{1}{2}}\cdot f^{\prime}(2)}\\&=&\frac{5\times (9)^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}\cdot f^{\prime}(2)}\\&=&\frac{5\times 3}{\frac{1}{2}\cdot f^{\prime}(2)}\\&=&\frac{15\times 2}{f^{\prime}(2)}\\&=&\frac{30}{f^{\prime}(2)}\end{array}
แต่จากโจทย์เราจะเห็นว่าโจทย์กำหนดให้มาว่าลิมิตของข้อนี้มีค่าเท่ากับ \(6\) ดังนั้นเราจึงได้ว่า
\begin{array}{lcl}\frac{30}{f^{\prime}(2)}&=&6\\f^{\prime}(2)&=&\frac{30}{6}\\f^{\prime}(2)&=&5\end{array}
ข้อนี้ตอบ \(5\) นั่นเองครับ
4) ให้ \(\mathbb{R}\) แทนเซตของจำนวนจริง ถ้า \(f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\) เป็นฟังก์ชันโดยที่ \(f(3)=111\) และ \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow 3}\frac{xf(x)-333}{x-3}=2013\) แล้วอัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยของ \(f(x)\) เทียบกับ \(x\) ขณะที่ \(x=3\) เท่ากับเท่าใด [Pat 1 เม.ย.57/42]
วิธีทำ ข้อนี้ถ้าอ่านโจทย์ดีๆ โจทย์ให้เราหา \(f^{\prime}(3)\) นั่นเองครับ ไปเริ่มหากันเลยครับการเริ่มต้นทำก็คือเริ่มต้นจากลิมิตที่โจทย์กำหนดมาให้นั้นเองครับ ซึ่งเราจะเห็นว่า
\begin{array}{lcl}\displaystyle\lim_{x\rightarrow 3}\frac{xf(x)-333}{x-3}&=&\frac{3(111)-333}{3-3}\\&=&\frac{0}{0}\end{array}
นั่นคือข้อนี้ต้องใช้กฏโลปิตาลมาช่วยครับ จะได้ว่า
ดิฟตัวเศษก่อนได้ว่า
\(\frac{d}{dx}(xf(x)-333)=x\cdot f^{\prime}(x)+f(x)(1)\)
ดิฟตัวส่วนจะได้ว่า
\(\frac{d}{dx}(x-3)=1\)
ใช้กฏโลปิตาลได้ว่า
\begin{array}{lcl}\displaystyle\lim_{x\rightarrow 3}\frac{x\cdot f^{\prime}(x)+f(x)}{1}&=&\frac{3\cdot f^{\prime}(3)+f(3)}{1}\\&=&3\cdot f^{\prime}(3)+111\end{array}
แต่เนื่องจากลิมิตของข้อนี้โจทย์บอกว่ามีค่าเท่ากับ \(2013\) ดังนั้นจึงได้ว่า
\begin{array}{lcl}3\cdot f^{\prime}(3)+111&=&2013\\f^{\prime}(3)&=&\frac{2013-111}{3}\\f^{\prime}(x)&=&634\end{array}
ข้อนี้ตอบ \(634\)
5) ให้ \(R\) แทนเซตของจำนวนจริง ให้ \(f:R\rightarrow R\) เป็นฟังก์ชัน ที่สอดคล้องกับสมการ \(f(x+y)=f(x)+f(y)+3x^{2}y+3xy^{2}\) สำหรับทุกจำนวนจริง \(x\) และ \(y\) และ \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0}\frac{f(x)}{x}=2\) ค่าของ \(f^{\prime}(1)+f^{\prime\prime}(5)\) เท่ากับเท่าใด [Pat1 มี.ค.58/35]
วิธีทำ จะเห็นว่าโจทย์ข้อนี้ เขามีลิมิตมาให้เราด้วย และก็ให้เราอนุพันธ์อันดับต่างๆของฟังก์ชัน ฉะนั้นข้อนี้ให้เรานึกถึงนิยามของการหาอนุพันธ์หรือก็คืออัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ย เริ่มทำกันเลยครับ จากนิยามของการหาอนุพันธ์ เราได้ว่า
\begin{array}{lcl}f^{\prime}(x)&=&\displaystyle\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\end{array}
และจากโจทย์
\(f(x+y)=f(x)+f(y)+3x^{2}y+3xy^{2}\)
จะได้ว่า
\begin{array}{lcl}f^{\prime}(x)&=&\displaystyle\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\\&=&\displaystyle\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x)+f(h)+3x^{2}h+3xh^{2}-f(x)}{h}\\&=&\displaystyle\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(h)+3x^{2}h+3xh^{2}}{h}\\&=&\displaystyle\lim_{h\rightarrow 0}(\frac{f(h)}{h}+3x^{2}+3xh)\\&=&\displaystyle\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(h)}{h}+\displaystyle\lim_{h\rightarrow 0}(3x^{2}+3xh)\\&=&2+3x^{2}+0\\&=&3x^{2}+2\end{array}
hint: \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0}\frac{f(x)}{x}=2\)
ดังนั้น \(\displaystyle\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(h)}{h}=2\)
จากทั้งหมดที่เราทำมาเราได้ว่า
\begin{array}{lcl}f^{\prime}(x)&=&3x^{2}+2\\f^{\prime}(1)&=&3(1)^{2}+2\\f^{\prime}(1)&=&5\end{array}
\begin{array}{lcl}f^{\prime\prime}(x)&=&6x\\f^{\prime\prime}(5)&=&6(5)\\f^{\prime\prime}(5)&=&30\end{array}
คำตอบของข้อนี้คือ
\begin{array}{lcl}f^{\prime}(1)+f^{\prime\prime}(5)&=&5+30\\&=&35\end{array}
6) ให้ \(f\) และ \(g\) เป็นฟังก์ชันซึ่งมีโดเมนและเรนจ์เป็นสับเซตของเซตของจำนวนจริง โดยที่ \(f^{\prime}(x)=\frac{2x^{4}-x}{x^{3}}\) เมื่อ \(x\neq 0\)
\(g(x)=(1+x^{2})f(x)\) และ \(g(1)=2\) ค่าของ \(\int_{-1}^{2}x^{3}g^{\prime\prime}(x)dx\) เท่ากับเท่าใด[Pat1 มี.ค.58/40]
วิธีทำ ข้อนี้ไม่น่ายากครับ เพราะเท่าที่เห็นก็ถามตรงๆไม่น่ามีอะไรที่ซับซ้อน เอาละเขาให้เราอินทิเกรตฟังก์ชัน g(x) เวลาหาคำตอบก็ต้องเริ่มที่ g(x) นี่แหละครับผม เริ่มกันเลยครับ
\begin{array}{lcl}g(x)&=&(1+x^{2})f(x)\\g^{\prime}(x)&=&(1+x^{2})\cdot f^{\prime}(x)+f(x)\cdot 2x\\g^{\prime\prime}(x)&=&(1+x^{2})\cdot f^{\prime\prime}(x)+f^{\prime}(x)\cdot 2x+f(x)\cdot 2+2x\cdot f^{\prime}(x)\end{array}
จากฟังก์ชัน \(g^{\prime\prime}(x)\) จะเห็นว่าเราติดพวก \(f(x),\quad f^{\prime\prime}(x)\) อยู่ด้วย ดังนั้น เราต้องหาพวกนี้ด้วยครับ ก็หาจาก \(f^{\prime}(x)=\frac{2x^{4}-x}{x^{3}}\) เริ่มต้นทำเลย
\begin{array}{lcl}f^{\prime}(x)&=&\frac{2x^{4}-x}{x^{3}}\\f^{\prime}(x)&=&2x-x^{-2}\\\int f^{\prime}(x)&=&\int 2x-x^{-2}dx\\f(x)&=&\frac{2x^{2}}{2}-\frac{x^{-1}}{-1}+c\\f(x)&=&x^{2}+x^{-1}+c\end{array}
โจทย์กำหนดให้ \(g(1)=2\)
จาก \(g(x)=(1+x^{2})f(x)\) แทน \(x=1\) จะได้
\begin{array}{lcl}g(1)&=&(1+1^{2})f(1)\\2&=&(2)(1^{2}+1^{-1}+c)\\1&=&2+c\\-1&=&c\end{array}
ดังนั้น \(f(x)=x^{2}+x^{-1}-1\) แทนใน \(g(x)\) จะได้ว่า
\begin{array}{lcl}g(x)&=&(1+x^{2})(x^{2}+x^{-1}-1)\\&=&x^{2}+x^{-1}-1+x^{4}+x-x^{2}\\g^{\prime}(x)&=&-x^{-2}+4x^{3}+1\\g^{\prime\prime}(x)&=&2x^{-3}+12x^{2}\end{array}
ดังนั้น
\begin{array}{lcl}\int_{-1}^{2}x^{3}g^{\prime\prime}(x)dx&=&\int_{-1}^{2}x^{3}(2x^{-3}+12x^{2})dx\\&=&\int_{-1}^{2}2+12x^{5}dx\\&=&2x+\frac{12x^{6}}{6}|_{-1}^{2}\\&=&(2(2)+2(2^{6})-(2(-1)+2(-1)^{6})\\&=&132-0\\&=&132\end{array}
7) ให้ \(f\) เป็นฟังก์ชันซึ่งมีโดเมนและเรนจ์เป็นสับเซตของเซตของจำนวนจริงโดยที่ \(f(2x-1)=4x^{2}-10x+a\) เมื่อ \(a\) เป็นจำนวนจริง และ \(f(0)=12\) ค่าของ \(\int_{1}^{4}f(x)dx\) เท่ากับเท่าใด [Pat1 พ.ย.57/41]
วิธีทำ ข้อนี้แน่นอนทุกคนคงมองออกแล้ว่าต้องให้ \(f(x)\) ออกมาให้ได้ ซึ่งการหาก็ต้องอาศัยตัวนี้ครับคือ \(f(2x-1)\) ซึ่งวิธีการหาก็ทำดังต่อไปนี้
กำหนดให้ \(2x-1=m\) ดังนั้น \(x=\frac{m+1}{2}\)
จาก \(f(2x-1)=4x^{2}-10x+a\)
ดังนั้น
\begin{array}{lcl}f(m)&=&4(\frac{m+1}{2})^{2}-10(\frac{m+1}{2})+a\\&=&m^{2}+2m+1-5(m+1)+a\\&=&m^{2}+2m+1-5m-5+a\\&=&m^{2}-3m-4+a\end{array}
เนื่องจาก \(f(m)=m^{2}-3m-4+a\)
ดังนั้น \(f(x)=x^{2}-3x-4+a\)
จาก \(f(x)=x^{2}-3x-4+a\)
จะได้ \(f(0)=0^{2}-3(0)-4+a\) แต่ \(f(0)=12\) จึงได้ว่า
\begin{array}{lcl}12&=&0^{2}-3(0)-4+a\\a&=&16\end{array}
แทนค่า \(a=16\) ลงใน \(f(x)\) จะได้
\begin{array}{lcl}f(x)&=&x^{2}-3x-4+a\\f(x)&=&x^{2}-3x-4+16\\f(x)&=&x^{2}-3x+12\end{array}
ตอนนี้เรารู้ค่าของ \(f(x)\) แล้ว ดังนั้น อินทิเกรตหาคำตอบได้แล้วครับ จึงได้ว่า
\begin{array}{lcl}\int_{1}^{4}f(x)dx&=&\int_{1}^{4}(x^{2}-3x+12)dx\\&=&\frac{x^{3}}{3}-\frac{3x^{2}}{2}+12x|_{1}^{4}\\&=&\left(\frac{4^{3}}{3}-\frac{3(4^{2})}{2}+12(4)\right)-\left(\frac{1^{3}}{3}-\frac{3(1^{2})}{2}+12(1)\right)\\&=&\frac{64}{3}-24+48-\frac{1}{3}+\frac{3}{2}-12\\&=&\frac{63}{3}+12+\frac{3}{2}\\&=&34.5\end{array}
8) กำหนดให้ \(a\) เป็นจำนวนจริงบวก สอดคล้องกับ \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0}\frac{|5x+1|-|5x-1|}{\sqrt{x+a}-\sqrt{a}}=80\) ค่าของ \(a^{2}+a+58\) เท่ากับเท่าใด (Pat1 มี.ค. 58/17)
วิธีทำ ข้อนี้เราต้องหาลิมิตออกมาก่อนคับ แล้วค่อยแก้สมการหาค่า \(a\) วิธีการหาค่าลิมิตก็ยากหน่อยหนึ่งเพราะฟังก์ชันเราติดค่าสัมบูรณ์อยู่ดังนั้นต้องถอดค่าสัมบูรณ์ออกมาก่อน มาเริ่มต้นทำเลยคับ เริ่มจากการหาลิมิตซ้าย แล้วค่อยไปหาลิมิตขวา
หาลิมิตซ้าย
\begin{array}{lcl}\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0^{-}}\frac{|5x+1|-|5x-1|}{\sqrt{x+a}-\sqrt{a}}&=&\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0^{-}}\frac{(5x+1)-(-(5x-1))}{\sqrt{x+a}-\sqrt{a}}\\&=&\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0^{-}}\frac{10x}{\sqrt{x+a}-\sqrt{a}}\\&=&\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0^{-}}\frac{10x}{\sqrt{x+a}-\sqrt{a}}\cdot \frac{\sqrt{x+a}+\sqrt{a}}{\sqrt{x+a}+\sqrt{a}}\\&=&\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0^{-}}\frac{10x\cdot (\sqrt{x+a}+\sqrt{a})}{x+a-a}\\&=&\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0^{-}}\frac{10x(\sqrt{x+a}+\sqrt{a})}{x}\\&=&\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0^{-}}10(\sqrt{x+a}+\sqrt{a})\\&=&10(\sqrt{a}+\sqrt{a})\\&=&20\sqrt{a}\end{array}
หาลิมิตขวา
\begin{array}{lcl}\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0^{+}}\frac{|5x+1|-|5x-1|}{\sqrt{x+a}-\sqrt{a}}&=&\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0^{+}}\frac{(5x+1)-(-(5x-1))}{\sqrt{x+a}-\sqrt{a}}\\&=&\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0^{+}}\frac{10x}{\sqrt{x+a}-\sqrt{a}}\\&=&\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0^{+}}\frac{10x}{\sqrt{x+a}-\sqrt{a}}\cdot \frac{\sqrt{x+a}+\sqrt{a}}{\sqrt{x+a}+\sqrt{a}}\\&=&\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0^{+}}\frac{10x\cdot (\sqrt{x+a}+\sqrt{a})}{x+a-a}\\&=&\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0^{+}}\frac{10x(\sqrt{x+a}+\sqrt{a})}{x}\\&=&\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0^{+}}10(\sqrt{x+a}+\sqrt{a})\\&=&10(\sqrt{a}+\sqrt{a})\\&=&20\sqrt{a}\end{array}
จะเห็นได้ว่าลิมิตซ้ายและลิมิตขวามีค่าเท่ากัน ดังนั้น
\(\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0}\frac{|5x+1|-|5x-1|}{\sqrt{x+a}-\sqrt{a}}=20\sqrt{a}\)
นั่นคือเราต้องแก้สมการนี้ \(20\sqrt{a}=80\) เพื่อหาค่า \(a\) เริ่มเลย
\begin{array}{lcl}20\sqrt{a}&=&80\\\sqrt{a}&=&\frac{80}{20}\\\sqrt{a}&=&4\\a&=&16\end{array}
ดังนั้น
\begin{array}{lcl}a^{2}+a+58&=&16^{2}+16+58\\&=&256+16+58\\&=&330\end{array}
9) ค่าของ \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0^{-}}\frac{\sqrt{x^{3}+x^{2}}+x}{x^{2}}\) เท่ากับเท่าใด (Pat 1 มี.ค.54/18)
วิธีทำ ข้อนี้ระวังตรงนี้นะคับคือ \(\sqrt{x^{2}}=|x|\) มีค่าสัมบูรณ์ด้วย เริ่มทำกันเลย
\begin{array}{lcl}\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0^{-}}\frac{\sqrt{x^{3}+x^{2}}+x}{x^{2}}&=&\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0^{-}}\frac{\sqrt{x^{2}(x+1)}+x}{x^{2}}\\&=&\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0^{-}}\frac{|x|\sqrt{(x+1)}+x}{x^{2}}\\&=&\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0^{-}}\frac{(-x)\sqrt{(x+1)}+x}{x^{2}}\\&=&\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0^{-}}\frac{-\sqrt{(x+1)}+1}{x}\\&=&\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0^{-}}\frac{-\sqrt{(x+1)}+1}{x}\cdot \frac{-(\sqrt{x+1})-1}{-(\sqrt{x+1})-1}\\&=&\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0^{-}}\frac{(x+1)-1}{x[(-\sqrt{x+1})-1]}\\&=&\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0^{-}}\frac{1}{(-\sqrt{x+1})-1}\\&=&-\frac{1}{2}\end{array}
10) ค่าของ \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow 1^{+}}\frac{|1+x-2x^{2}|}{\sqrt{x+3}-2}\) เท่ากับเท่าใด (Pat1 ต.ค.55/21)
วิธีทำ ข้อนี้ไม่มีอะไร แยกตัวประกอบนิดหน่อย และถอดค่าสัมบูรณ์เป็นการทำได้แล้ว เริ่มทำกันเลย
\begin{array}{lcl}\displaystyle\lim_{x\rightarrow 1^{+}}\frac{|1+x-2x^{2}|}{\sqrt{x+3}-2}&=&\displaystyle\lim_{x\rightarrow 1^{+}}\frac{|(-x+1)(2x+1)|}{\sqrt{x+3}-2}\\&=&\displaystyle\lim_{x\rightarrow 1^{+}}\frac{-[(-x+1)(2x+1)]}{\sqrt{x+3}-2}\\&=&\displaystyle\lim_{x\rightarrow 1^{+}}\frac{(x-1)(2x+1)}{\sqrt{x+3}-2}\\&=&\displaystyle\lim_{x\rightarrow 1^{+}}\frac{(x-1)(2x+1)}{\sqrt{x+3}-2}\cdot \frac{\sqrt{x+3}+2}{\sqrt{x+3}+2}\\&=&\displaystyle\lim_{x\rightarrow 1^{+}}\frac{(x-1)(2x+1)\cdot \sqrt{x+3}+2}{(x-1)}\\&=&\displaystyle\lim_{x\rightarrow 1^{+}}(2x+1)\cdot \sqrt{x+3}+2\\&=&12\end{array}
11) จงหาค่าของ \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0}\frac{x}{\sqrt[3]{x+8}+\sqrt[3]{x-8}}\) (Pat1 ธ.ค.54)
วิธีทำ ข้อนี้ไม่ต้องหาตัวอะไรมาคูณทั้งสิ้นเพราะจะยาก ใช้กฎโลปิตาลเลย ก็คือ ดิฟเศษ และก็ดิฟส่วนเลยครับผม เริ่มทำกันเลย
\begin{array}{lcl}\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0}\frac{x}{\sqrt[3]{x+8}+\sqrt[3]{x-8}}&=&\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\frac{d(x)}{dx}}{\frac{d(\sqrt[3]{x+8}+\sqrt[3]{x-8})}{dx}}\\&=&\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1}{\frac{1}{3}(x+8)^{-\frac{2}{3}}+\frac{1}{3}(x-8)^{-\frac{2}{3}}}\\&=&\frac{1}{\frac{1}{3}(0+8)^{-\frac{2}{3}}+\frac{1}{3}(0-8)^{-\frac{2}{3}}}\\&=&\frac{1}{\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{4}+\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{4}}\\&=&\frac{1}{\frac{2}{12}}\\&=&6\end{array}
12) กำหนดให้
\(f(x)=\left\{\begin{matrix}&\frac{2x-8}{2x-\sqrt{4x^{2}-3x+12}}\quad &,& x<4 \\& \frac{kx}{3}\quad &,& x\geq 4\end{matrix}\right.\)
โดยที่ \(k\) เป็นจำนวนจริง ถ้า \(f\) เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องที่จุด \(x=4\) แล้ว \(f(k+1)\) เท่ากับเท่าใด (Pat 1 มี.ค.56/38)
วิธีทำ ข้อนี้ จากโจทย์บอกว่าฟังก์ชันนี้ต่อเนื่องที่จุด \(x=4\) เราจึงได้ว่า
\[f(4)=\displaystyle\lim_{x\rightarrow 4}f(x)\quad\cdots (1)\]
นั่นก็คือ \(f(4)=\frac{4k}{3}\quad \cdots (2)\) เก็บสมการนี้เอาไว้ก่อน
ต่อไปหาค่าของ \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow 4}f(x)\) ซึ่งหาได้ดังนี้
\begin{array}{lcl}\displaystyle\lim_{x\rightarrow 4}f(x)&=&\displaystyle\lim_{x\rightarrow 4}\frac{2x-8}{2x-\sqrt{4x^{2}-3x+12}}\\&=&\displaystyle\lim_{x\rightarrow 4}\frac{2x-8}{2x-\sqrt{4x^{2}-3x+12}}\cdot\frac{2x+\sqrt{4x^{2}-3x+12}}{2x+\sqrt{4x^{2}-3x+12}}\\&=&\displaystyle\lim_{x\rightarrow 4}\frac{(2x-8)\cdot (2x+\sqrt{4x^{2}-3x+12})}{4x^{2}-(4x^{2}-3x+12)}\\&=&\displaystyle\lim_{x\rightarrow 4}\frac{2(x-4)\cdot (2x+\sqrt{4x^{2}-3x+12})}{3x-12}\\&=&\displaystyle\lim_{x\rightarrow 4}\frac{2(x-4)\cdot (\sqrt{4x^{2}-3x+12})}{3(x-4)}\\&=&\displaystyle\lim_{x\rightarrow 4}\frac{2}{3}\cdot (2x+\sqrt{4x^{2}-3x+12})\\&=&\frac{2}{3}\cdot (2(4)+\sqrt{4(4)^{2}-3(4)+12})\\&=&\frac{2}{3}(8+8)\\&=&\frac{32}{3}\quad \cdots (3)\end{array}
ต่อไปเราก็เอา สมการที่ \((2)\) และ \((3)\) แทนในสมการที่ \((1)\) เพื่อหาค่า \(k\) จะได้
\begin{array}{lcl}f(4)&=&\displaystyle\lim_{x\rightarrow 4}f(x)\\\frac{4k}{3}&=&\frac{32}{3}\\k&=&8\end{array}
ตอนนี้ได้ค่า \(k=8\) ต่อไปก็ไปหาค่าของ \(f(k+1)\) จึงได้ว่า ซึ่งก็คือหาค่าของ \(f(8+1)=f(9)\) นั่นเอง
\begin{array}{lcl}f(x)&=&\frac{kx}{3}\\f(9)&=&\frac{8\times 9}{3}\\&=&24\quad \underline{Ans}\end{array}
13) กำหนดให้ \(f\) เป็นฟังก์ชัน นิยามโดย
\(f(x)=\left\{\begin{matrix}&-x+a\quad &,& x\leq -2 \\&-\frac{2}{5}x+b \quad &,& -2<x<3\\&x^{2}-6x+11\quad &,& x>3\end{matrix}\right.\)
เมื่อ \(a,b\) เป็นจำนวนจริง ถ้าฟังก์ชัน \(f\) มีความต่อเนื่องที่ \(x=-2\) และ \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow 3}f(x)\) หาค่าได้ แล้วค่าของ \(|a+5b|\) เท่ากับเท่าใด (Pat 1 เม.ย.57/17)
วิธีทำ โจทย์บอกว่าฟังก์ชัน \(f\) ต่อเนื่องที่ \(x=2\) ดังนั้นตรงนี้เราต้องได้โดยอัตโนมัติคือ
\[f(-2)=\displaystyle\lim_{x\rightarrow -2}f(x)\quad\cdots (1)\]
และเราจะได้ว่า
\(f(-2)=-(-2)+a=2+a\quad \cdots (2)\)
และ
\(\displaystyle\lim_{x\rightarrow -2}f(x)=\displaystyle\lim_{x\rightarrow -2}-\frac{2}{5}x+b=\frac{4}{5}+b\quad\cdots (3)\)
จากนั้นเราเอาค่าจากสมการที่ \((2),(3)\) ไปแทนในสมการที่ \((1)\) จะได้ว่า
\begin{array}{lcl}f(-2)&=&\displaystyle\lim_{x\rightarrow -2}f(x)\\2+a&=&\frac{4}{5}+b\\2-\frac{4}{5}&=&b-a\quad \cdots (4)\end{array}
และโจทย์ยังบอกมาอีกว่า \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow 3}f(x)\) หาค่าได้
ตรงนี้หมายความว่า \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow 3^{+}}=\displaystyle\lim_{x\rightarrow 3^{-}}\quad\cdots (5)\) เรามาเริ่มหาลิมิตซ้ายก่อนเลย
หาลิมิตซ้าย
\begin{array}{lcl}\displaystyle\lim_{x\rightarrow 3^{-}}f(x)&=&\displaystyle\lim_{x\rightarrow 3^{-}}-\frac{2}{5}x+b\\&=&-\frac{2}{5}(3)+b\\&=&-\frac{6}{5}+b\end{array}
หาลิมิตขวา
\begin{array}{lcl}\displaystyle\lim_{x\rightarrow 3^{+}}f(x)&=&\displaystyle\lim_{x\rightarrow 3^{+}}x^{3}-6x+11\\&=&3^{2}-6(3)+11\\&=&2\end{array}
เอาค่าที่ได้จากลิมิตซ้ายและลิมิตขวา ไปแทนในสมการที่ \((5)\) จะได้
\begin{array}{lcl}\displaystyle\lim_{x\rightarrow 3^{+}}&=&\displaystyle\lim_{x\rightarrow 3^{-}}\\-\frac{6}{5}+b&=&2\\b&=&2+\frac{6}{5}\\b&=&\frac{16}{5}\end{array}
ตอนนี้เราได้ค่า \(b=\frac{16}{5}\) นำค่า \(b\) ไปแทนในสมการที่ \((4)\) จะได้
\begin{array}{lcl}\frac{6}{5}&=&b-a\\\frac{6}{5}&=&\frac{16}{5}-a\\a&=&\frac{16}{5}-\frac{6}{5}\\a&=&2\end{array}
ตอนนี้เราได้ \(a=2\) และ \(b=\frac{16}{5}\)
ดังนั้น
\begin{array}{lcl}|a+5b|&=&|2+(5)\frac{16}{5}|\\&=&|18|\\&=&18\quad\underline{Ans}\end{array}
14) กำหนดให้ \(a\) และ \(b\) เป็นจำนวนจริง และให้ \(f\) เป็นฟังก์ชัน โดยที่
\(f(x)=\left\{\begin{matrix}&\frac{|x^{3}-1}{x-1}\quad &,& -1<x<1 \\&ax+b \quad &,& 1<x<5\\&5\quad &,& x\geq 5\end{matrix}\right.\)
ถ้า \(f\) เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบนช่วง \((-1,\infty)\) และค่าของ \(ab\) เท่ากับเท่าใด (Pat 1 ก.ค.53/19)
วิธีทำ ข้อนี้ต้องใช้ความรู้เรื่องความต่อเนื่องบนช่วงของฟังก์ชัน
โจทย์บอกว่า \(f\) เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบนช่วง \((-1,\infty)\) นั่นก็หมายความว่า ฟังก์ชัน \(f\) ต่อเนื่องทุกจุดที่อยู่ในช่วง \((-1,\infty)\)
วิธีการทำก็คือเราก็เลือกจุดมาสัก 2 จุด ซึ่งจุดนั้นที่เราเลือกมาอยู่ในช่วง \((-1,\infty)\) โดยผมจะเลือกจุด \(x=1\) และ \(x=5\) ซึ่งจะเห็นได้ว่า \(1,5\in (-1,\infty)\) นั่นก็คือ \(f\) ต่อเนื่องที่จุด \(x=1\) และ ต่อเนื่องที่จุด \(x=5\)
เนื่องจาก \(f\) ต่อเนื่องที่จุด \(x=1\) ดังนั้น
\[f(1)=\displaystyle\lim_{x\rightarrow 1}f(x)\]
ดังนั้นจะได้ต่อไปว่า
\begin{array}{lcl}f(1)&=&\displaystyle\lim_{x\rightarrow 1}f(x)\\a(1)+b&=&\displaystyle\lim_{x\rightarrow 1}\frac{|x^{3}-1|}{x-1}\\a+b&=&\displaystyle\lim_{x\rightarrow 1}-\frac{(x^{3}-1)}{x-1}\\a+b&=&\displaystyle\lim_{x\rightarrow 1}\frac{(-1)(x-1)(x^{2}+x+1)}{(x-1)}\\a+b&=&\displaystyle\lim_{x\rightarrow 1}(-1)(x^{2}+x+1)\\a+b&=&(-1)(1^{2}+1+1)\\a+b&=&-3\quad \cdots (1)\end{array}
เนื่องจาก \(f\) ต่อเนื่องที่จุด \(x=5\) ดังนั้น
\[f(5)=\displaystyle\lim_{x\rightarrow 5}f(x)\]
ดังนั้นจะได้ต่อไปว่า
\begin{array}{lcl}f(5)&=&\displaystyle\lim_{x\rightarrow 5}f(x)\\5&=&\displaystyle\lim_{x\rightarrow 5} ax+b\\5&=&5a+b\quad\cdots (2)\end{array}
จากสมการที่ \((1)\) และสมการที่ \((2)\) คือ
\[a+b=-3\quad\cdots (1)\]
\[5a+b=5\quad\cdots (2)\]
นำสมการ \((1)-(2)\) จะได้
\begin{array}{lcl}-4a&=&-8\\a&=&2\end{array}
แทน \(a\) ด้วย \(2\) ในสมการที่ \((1)\) จะได้ \(b=-5\)
ต่อไปเมื่อได้ค่าของ \(a\) และ \(b\) แล้วจะสามารถหาค่า \(ab\) ได้แล้ว
นั่นก็คือ \(ab=(2)(-5)=-10\quad\underline{Ans}\)
15) กำหนดให้ \(a\) และ \(b\) เป็นจำนวนจริง และ \(f\) เป็นฟังก์ชัน ซึ่งกำหนดโดย
\(f(x)=\left\{\begin{matrix}&\frac{x^{3}-3x-2}{x-2}\quad &,&x<2\\& a-b\quad &,& x=2\\& x^{2}+ax+1\quad &,&x>2 \end{matrix}\right.\)
ถ้า \(f\) เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบนเซตของจำนวนจริงแล้ว ค่าของ \(a^{2}+b^{2}\) เท่ากับเท่าใด (Pat1 มี.ค.53/37)
วิธีทำ โจทย์บอกว่า \(f\) ต่อเนื่องบนเซตของจำนวนจริง นั่นคือต่อเนื่องที่จุดทุกจุดที่เป็นจำนวนจริง งั้นเราก็เลือกจุด \(x\) มาหนึ่งจุด ซึ่งจากโจทย์เราควรเลือกจุดที่ \(x=2\) ซึ่งเราจะได้ว่าฟังก์ชัน \(f\) ต่อเนื่องที่จุด \(x=2\) ดังนั้น
\[f(2)=\displaystyle\lim_{x\rightarrow 2}f(x)\quad \cdots (1)\]
ต่อไปเราก็หาค่าของ \(f(2)\) และ \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow 2}f(x)\) แล้วเอามาแทนค่าในสมการที่ \((1)\)
เริ่มทำเลยคับ จะได้ว่า \(f(2)=a-b\)
ต่อไป ก็หาค่าของ \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow 2}f(x)\) ซึ่งเราต้องแยกหา ลิมิตซ้าย และ ลิมิตขวา แล้วค่อยจับมาเท่ากัน
หาลิมิตซ้ายก่อน
\begin{array}{lcl}\displaystyle\lim_{x\rightarrow 2^{-}}f(x)&=&\displaystyle\lim_{x\rightarrow 2^{-}}\frac{x^{3}-3x-2}{x-2}\\&=&\displaystyle\lim_{x\rightarrow 2^{-}}\frac{(x-2)(x^{2}+2x+1)}{(x-2)}\\&=&\displaystyle\lim_{x\rightarrow 2^{-}}(x^{2}+2x+1)\\&=&2^{2}+2(2)+1\\&=&9\end{array}
หาลิมิตขวา
\begin{array}{lcl}\displaystyle\lim_{x\rightarrow 2^{+}}f(x)&=&\displaystyle\lim_{x\rightarrow 2^{+}}x^{2}+ax+1\\&=&2^{2}+2a+1\\&=&2a+5\end{array}
เนื่องจาก \(f\) เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องที่จุด \(x=2\) ดังนั้น \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow 2}\) หาค่าได้ ซึ่งเมื่อหาค่าได้แสดงว่าลิมิตซ้ายจะเท่ากับลิมิตขวา จึงได้ว่า \(2a+5=9\) จึงได้ว่า \(a=2\) และที่สำคัญที่เราควรที่จะได้อีกคือ เนืองจากลิมิตซ้ายเท่ากับลิมิตขวา จึงทำให้
\[\displaystyle\lim_{x\rightarrow 2}f(x)=9=2a+5\]
นำค่าลิมติ \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow 2}f(x)=9=2a+5\) ไปแทนในสมการที่ \((1)\) จะได้
\begin{array}{lcl}f(2)&=&\displaystyle\lim_{x\rightarrow 2}\\a-b&=&9\\2-b&=&9\\b&=&-7\end{array}
ตอนนี้เราได้ค่าของ \(a=2\) และ \(b=-7\) ดังนั้นหาคำตอบได้แล้วคับจะได้
\begin{array}{lcl}a^{2}+b^{2}&=&2^{2}+(-7)^{2}\\&=&4+49\\&=&53\quad\underline{Ans}\end{array}
สนับสนุนเว็บไซต์