กำหนดการเชิงเส้นหรือภาษาอังกฤษคือ linear programming  เป็นคณิตศาสตร์ประยุกต์แขนงหนึ่งที่ถูกคิดค้นขึ้นมาเพื่อนำไปใช้ในการแก้ปัญหาเกี่ยวกับการเคลื่อนย้ายกำลังทหาร อาวุธยุทโธปกรณ์ และสัมภาระต่างๆ จากฐานทัพหนึ่งไปยังอีกฐานทัพหนึ่งในระหว่างสงครามโลก  โดยมีข้อจำกัดหรือเงื่อนไขว่าจะต้องเสียงบประมาณในการเคลื่อนย้ายน้อยที่สุด และสามารถทำได้อย่างรวดเร็วที่สุด ต่อมามีการนำความรู้ดังกล่างนี้ไปใช้ในการแก้ปัญหาเกี่ยวกับการขนส่งทางด้านธุรกิจ

นอกจากการนำกำหนดการเชิงเส้นไปใช้ในการแก้ปัญหาเกี่ยวกับการขนส่งแล้ว ปัจจุบันนี้ได้มีการนำไปใช้ในการแก้ปัญหาทางด้านอื่นๆอีกเช่น

ทางด้านการผลิต นำไปช่วยในการวางแผนการผลิตเพื่อให้ได้กำไรสูงสุดในขณะที่เครื่องจักรและวัตถุดิบที่ใช้ในการผลิตมีจำนวนจำกัดหรือกล่าวได้อีกอย่างหนึ่งว่า เป็นการวางแผนการผลิตเพื่อให้เกิดต้นทุนการผลิตต่ำที่สุด ภายใต้ข้อจำกัดของเครื่องมือและวัตถุดิบ

ทางด้านการศึกษา  นำไปช่วยวางแผนการบริหารงานเพื่อให้เกิดประสิทธิภาพมากที่สุด เช่นสามารถรับนักเรียนเข้าศึกษาได้มากที่สุด ภายใต้ข้อจำกัดเกี่ยวกับจำนวนครูและสถานที่เป็นต้น

จะเห็นได้ว่ากำหนดการเชิงเส้นนั้นสามารถประยุกต์ใช้ได้กับชีวิตประจำวันต่างๆมากมาย ดังนั้นเรามาลองศึกษาเกี่ยวกับเรื่องกำหนดการเชิงเส้นกันดูครับ

เรามาลองทำแบบฝึกหัดกำหนดการเชิงเส้นกันดูเลยครับ เริ่มจากข้อง่ายๆก่อนครับ

แบบฝึกหัดกำหนดการเชิงเส้น

1. พิจารณาจุดที่มีพิกัด \((1,1),\quad (-1,3),\quad (2,-2)\) และ \((\frac{1}{4},\frac{1}{2})\) ว่าอยู่ในกราฟของอสมการ \( 2x+y<2\) หรือ \(2x+y>2\) หรืออยู่บนเส้นตรงซึ่งเป็นกราฟของ \(2x+y=2\)

วิธีทำ ข้อนี้ง่ายๆครับแค่ลองแทนค่า \(x\) และ \(y\) ลงในสมการหรืออสมการที่โจทย์กำหนดมาให้ ถ้าอสมการหรือสมการเป็นจริงแล้วละก้อ แสดงว่าจุดนั้นอยู่บนสมการหรือในอสมการนั้นๆครับ เช่น

แทน \((2,-2)\) ลงในสมการ \(2x+y=2\) จะได้ว่า

\begin{array}{lcl}2x+y=2(2)+(-2)\\&=&4-2\\&=&2\end{array}

สมการเป็นจริง ดังนั้น \((2,-2)\) อยู่บนเส้นตรงซึ่งเป็นกราฟของ \(2x+y=2\)

แทน \((1,1)\) ลงในอสมการ \(2x+y>2\) จะได้

\begin{array}{lcl}2x+y&=&2(1)+1=3>2\end{array}

อสมการเป็นจริง ดังนั้น \((1,1)\) อยู่ในกราฟของอสมการ \(2x+y>2\)

แทน \((-1,3),(\frac{1}{4},\frac{1}{2})\) ลงในอสมการ \(2x+y<2\) จะได้

\begin{array}{lcl}2x+y&=&2(-1)+3\\&=&-2+3\\&=&1<2\end{array}

\begin{array}{lcl}2x+y&=&2(\frac{1}{4})+\frac{1}{2}\\&=&1<2\end{array}

ดังนั้น \((-1,3),\quad (\frac{1}{4},\frac{1}{2})\) อยู่ในกราฟของอสมการ \(2x+y<2\)

2. จงเขียนกราฟของอสมการต่อไปนี้

ในการทำข้อนี้ ผมแนะนำว่าลองไปดาวน์โหลดโปรแกรม Geogebra ทำวาดกราฟดูครับวาดง่ายกราฟสวยครับ 

1) \(x<2\)

วิธีทำ จะเป็นพื้นที่นะครับไม่ยาก กราฟจะออกมาดังรูปครับ

---

---

2) \(y>3\)

---

3) \(x\geq -1\)

---

4) \(2x+2y<4\)

จะได้กราฟเป็นพื้นที่ดังนี้ครับ

---

5) \(x\leq 2y-2\)

วาดกราฟได้ดังนี้