วันนี้เราจะมาเรียนเรื่องของ ปฏิยานุพันธ์ ครับซึ่งเป็นเจ้า ปฎิยานุพันธ์นั้นจะเป็นญาติพี่น้องกับอนุพันธ์โดยมีความเกี่ยวดองกันทางสายเลือด  เรามาดูกันว่าจะปฏิยานุพันธ์กับอนุพันธ์นั้นเกี่ยวดองกันอย่างไร

      จากเรื่องการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน ทราบแล้วว่า ถ้ามีสมการของการเคลื่อนที่ซึ่งแสดงความสัมพันธ์ระหว่างระยะทาง \((s)\) กับเวลา \((t)\) แล้วความเร็ว \((v)\) ของวัตถุคือ \(\frac{ds}{dt}\) หรือ \(v=\frac{ds}{dt}\)

ฉะนั้น ถ้าทราบว่า \(v=3t^{2}+6t\)

แสดงว่า

\[\frac{ds}{dt}=3t^{2}+6t\]

ลองนึกย้อนกลับว่าสมการของการเคลื่อนที่ซึ่งแสดงความสัมพันธ์ระหว่าง \(s\) กับ \(t\) ควรจะเป็นอย่างไร จึงจะได้ \(\frac{ds}{dt}=3t^{2}+6t\)

สมมติให้การคาดคะแนว่าสมการของการเคลื่อนที่คือ \(s_{1}=t^{3}+t^{2}\)

จะได้  \(v_{1}=\frac{ds_{1}}{dt}=3t^{2}+2t\)

พบว่า \(s_{1}=t^{3}+t^{2}\) ไม่ใช่สมการของการเคลื่อนที่ตามต้องการ

ลองสมมติใหม่ได้ \(s_{2}=t^{3}+3t^{2}\)

คราวนี้จะเห็นได้ว่า \(v_{2}=3t^{2}+6t\) ได้สมการของการเคลื่อนที่ซึ่งให้ความเร็วตรงตามที่กำหนด ปัญหาที่ตามมาคือยังมีสมการของการเคลื่อนที่อื่นอีกหรือไม่ที่ให้ความเร็วตามที่กำหนด ลองพิจารณาสมการของการเคลื่อนที่ต่อไปนี้

ถ้า  \(s_{3}=t^{3}+3t^{2}+5\)

จะได้ \(v_{3}=3t^{2}+6t\)

ถ้า \(s_{4}=t^{3}+3t^{2}-8\)

จะได้ \(v_{4}=3t^{2}+6t\)

ถ้า \(s_{5}=t^{3}+3t^{2}+c\) เมื่อ \(c\) เป็นค่าคงตัว

จะได้ \(v_{5}=3t^{2}+6t\)

    จากการหาสมการของการเคลื่อนที่ข้างต้นจะเห็นว่าวัตถุจะเคลื่อนที่ด้วยความเร็วที่เท่ากันคือ \(v=3t^{2}+6t\) เมื่อสมการของการเคลื่อนที่คือ \(s=t^{3}+3t^{2}+c\)

     กระบวนการหาความเร็วของวัตถุขณะเวลา \(t\) ใดๆ เมื่อทราบสมการของการเคลื่อนที่โดยอาศัยความรู้เรื่องการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน แต่สำหรับการหาสมการของการเคลื่อนที่ของวัตถุเมื่อทราบสมการความเร็วของวัตถุนั้นเป็นกระบวนการตรงข้ามกับการหาอนุพันธ์ ซึ่งเรียกว่า การหาปฏิยานุพันธ์  และเรียกสมการของการเคลื่อนที่แต่ละสมการข้างต้นว่า ปฏิยานุพันธ์ของ \(v=3t^{2}+6t\)

   ในกรณีทั่วไป  จะนิยามปฏิยานุพันธ์ของฟังก์ชันใดๆ ดังนี้

บทนิยาม      

ฟังก์ชัน \(F\) เป็นปฏิยานุพันธ์ (antiderivative) หนึ่งของ \(f\) 

ถ้า \(F^{\prime}(x)=f(x)\)  สำหรับทุกค่าของ \(x\) ที่อยู่ในโดเมนของ \(f\)

ต่อไปเรามาดูตัวอย่างของการทำแบบฝึกหัดของปฏิยานุพันธ์กันครับ

ตัวอย่างที่ 1 จงแสดงว่า \(F(x)=\sqrt{x^{2}-1}\) เป็นปฏิยานุพันธ์ของฟังก์ชัน \(f(x)=\frac{x}{\sqrt{x^{2}-1}}\)

วิธีทำ  จาก \(F(x)=\sqrt{x^{2}-1}\)

จะได้ 

\begin{array}{lcl}F^{\prime}(x)&=&\frac{1}{2}(x^{2}-1)^{-\frac{1}{2}}(2x)\\&=&\frac{x}{\sqrt{x^{2}-1}}\end{array}

นั่นคือ \(F^{\prime}(x)=f(x)\)

ดังนั้น \(F(x)=\sqrt{x^{2}-1}\)เป็นปฎิยานุพันธ์หนึ่งของฟังก์ชัน \(f(x)=\frac{x}{\sqrt{x^{2}-1}}\)

ตัวอย่างที่ 2 ให้ \(f(x)=2x\) จงหาปฎิยานุพันธ์ของฟังก์ชัน \(f\)

วิธีทำ 

ให้  \(F_{1}(x)=x^{3}\)  จะได้ \(F_{1}^{\prime}(x)=3x^{2}\)

\(F_{2}(x)=x^{2}\)   จะได้  \(F_{2}^{\prime}(x)=2x\)

\(F_{3}(x)=x^{2}+3\) จะได้  \(F_{3}^{\prime}(x)=2x\)

\(F_{4}(x)=x^{2}+4\) จะได้ \(F_{4}^{\prime}(x)=2x\)

นั่นคือ \(F_{2},F_{3},F_{4}\) ต่างเป็นปฏิยานุพันธ์ของ \(f(x)=2x\)

จะเห็นว่า ถ้าให้ \(F(x)=x^{2}+c\)  เมื่อ \(c\) เป็นค่าคงตัว

จะได้ \(F^{\prime}(x)=2x\)

ดังนั้น \(F(x)=x^{2}+c\) เมื่อ \(c\) เป็นค่าคงตัว  เป็นรูปทั่วไปของปฏิยานุพันธ์ของ \(f(x)=2x\)

หมายเหตุ   1.  ถ้า \(F\) เป็นปฏิยานุพันธ์หนึ่งของ \(f\) แล้วฟังก์ชัน \(G\) ที่นิยามโดย \(G(x)=F(x)+c\)  เมื่อ \(c\) เป็นค่าคงตัว จะเป็นปฏิยานุพันธ์ของ \(f\) ด้วย

2. ในคณิตศาสตร์ระดับที่สูงขึ้นไปมีการพิสูจน์โดยชัดแจ้งว่าปฏิยานุพันธ์ของฟังก์ชันเดียวกันจะต่างกันเพียงค่าคงตัวเท่านั้น

ตัวอย่างที่ 3 จงหาฟังก์ชัน \(F\) เมื่อกำหนด \(F^{\prime}(x)=3x^{2}\)

วิธีทำ   ลองให้ \(F(x)=x^{3}\)

จะได้ \(F^{\prime}(x)=3x^{2}\)  ซึ่งตรงกับสิ่งที่กำหนดให้

ดังนั้น เมื่อ \(F^{\prime}(x)=3x^{2}\) จะได้ \(F(x)=x^{3}+c\)  เมื่อ \(c\) เป็นค่าคงตัว

ตัวอย่างที่ 4  จงหาปฎิยานุพันธ์ของ \(f\) เมื่อ \(f(x)=x\)

วิธีทำ 

กำหนดให้ \(f(x)=x\)  จะหา \(F\) ที่ \(F^{\prime}(x)=x\)

ลองให้ \(F(x)=x^{2}\)  จะได้  \(F^{\prime}(x)=x\)

แสดงว่า  \(F(x)=x^{2}\) ไม่ใช่ฟังก์ชันที่ต้องการ

ลองให้ \(F(x)=\frac{1}{2}x^{2}\)

จะได้ \(F^{\prime}(x)=\frac{1}{2}(2x)=x\)

ดังนั้น ปฏิยานุพันธ์ของ \(f(x)=x\) คือ \(F(x)=\frac{1}{2}x^{2}+c\) เมื่อ \(c\) เป็นค่าคงตัว

ตัวอย่างที่ 5 จงหาปฎิยานุพันธ์ของ \(f\) เมื่อ \(f(x)=3x^{2}+x\)

วิธีทำ  กำหนดให้ \(f(x)=3x^{2}+x\)

จะหา \(F(x)\) ที่ \(F^{\prime}(x)=3x^{2}+x\)

ลองให้ \(F(x)=x^{3}+\frac{1}{2}x^{2}\)

จะได้

\begin{array}{lcl}F^{\prime}(x)&=&3x^{2}+\frac{1}{2}(2x)\\&=&3x^{2}+x\end{array}

ดังนั้น ปฎิยานุพันธ์ของ \(f(x)=3x^{2}+x\) คือ \(F(x)=x^{3}+\frac{1}{2}x^{2}+c\) เมื่อ \(c\) เป็นค่าคงที่

ต่อไปเรามาดูตัวอย่างการทำแบบฝึกหัด สักข้อสองข้อซึ่งเป็นแบบฝึกหัดเกี่ยวกับปฎิยานุพันธ์ของฟังก์ชัน ซึ่งผมจะทำให้ดูเพื่อเป็นตัวอย่างในการทำแบบฝึกหัดสำหรับข้ออื่นๆที่ยากขึนนะครับ พยายามอ่านทำความเข้าใจแล้วประยุกต์ในการทำโจทย์ปฏิยานุพันธ์ของฟังก์ชันข้ออื่นๆอีกต่อไปครับ มาเริ่มกันเลยครับ

1. จงหาปฎิยานุพันธ์ของฟังก์ชันที่กำหนดให้ต่อไปนี้

1. \(f(x)=5x\)

วิธีทำ

จาก \(f(x)=5x\)

จะได้ \(F(x)=\frac{5}{2}x^{2}+c\)

---

2. \(f(x)=x^{3}\)

วิธีทำ

จาก \(f(x)=x^{3}\)

จะได้ \(F(x)=\frac{1}{4}x^{4}+c\)

---

3. \(f(x)=x\sqrt{x}\)

วิธีทำ

จาก \(F(x)=x\sqrt{x}=x(x^{\frac{1}{2}})=x^{\frac{3}{2}}\)

จะได้  \(F(x)=\frac{2}{5}x^{\frac{5}{2}}+c\)

---

4. \(f(x)=\frac{1}{x^{5}}\)

วิธีทำ

จาก \(f(x)=\frac{1}{x^{5}}=x^{-5}\)

จะได้

\begin{array}{lcl}F(x)&=&-\frac{1}{4}x^{-4}+c\\&=&-\frac{1}{4x^{4}}+c\end{array}

---

5. \(f(x)=2x+1\)

วิธีทำ 

จาก \(f(x)=2x+1\)

จะได้ \(F(x)=x^{2}+x+c\)

---

6. \(f(x)=4x^{4}+3x^{3}+2x^{2}+x+1\)

วิธีทำ 

จาก \(f(x)=4x^{4}+3x^{3}+2x^{2}+x+1\)

จะได \(F(x)=\frac{4}{5}x^{5}+\frac{3}{4}x^{4}+\frac{2}{3}x^{3}+\frac{1}{2}x^{2}+x+c\)

---

7. \(f(x)=\frac{2}{x^{2}}+\frac{3}{x^{3}}\)

วิธีทำ

จาก

\begin{array}{lcl}f(x)&=&\frac{2}{x^{2}}+\frac{3}{x^{3}}\\&=&2x^{-2}+3x^{-3}\end{array}

จะได้

\begin{array}{lcl}F(x)&=&-2x^{-1}-\frac{3}{2}x^{-2}+c\\&=&-\frac{2}{x}-\frac{3}{2x^{2}}+c\end{array}

---

8.\(f(x)=(x^{2}-1)(4-x^{2}\)

วิธีทำ

จาก

\begin{array}{lcl}f(x)&=&(x^{2}-1)(4-x^{2})\\&=&-x^{4}+5x^{2}-4\end{array}

จะได้ \(F(x)=-\frac{1}{5}x^{5}+\frac{5}{3}x^{3}-4x+c\)

---

9.\(f(x)=\frac{1+\sqrt{x}}{x^{2}}\)

วิธีทำ

จาก

\begin{array}{lcl}f(x)&=&\frac{1+\sqrt{x}}{x^{2}}\\&=&\frac{1}{x^{2}}+\frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{2}}\\&=&x^{-2}+x^{\frac{-3}{2}}\end{array}

จะได้

\begin{array}{lcl}F(x)&=&-x^{-1}-2x^{-\frac{1}{2}}+c\\&=&-\frac{2}{\sqrt{x}}-\frac{1}{x}+c\end{array}