การแยกตัวประกอบนั้นทำได้หลายวิธีน่ะครับ แต่ละวิธีถ้าเลือกใช้เป็นก็จะทำให้ลดเวลาในการทำแบบฝึกหัด
ได้ครับ เรามาดูว่าการแยกตัวประกอบพหุนามดีกรีสองโดยผลต่างกำลังสอง เหมาะที่จะทำกับโจทย์แบบไหน
เริ่มแรกเรามาดูก่อนว่า ผลต่างกำลังสองคืออะไร ทำไมถึงเรียกว่าผลต่างกำลังสอง เรามาดูฟอร์มของผลต่างกำลังสองครับ
พิจารณาตัวนี้ครับ
ให้ \(A,B\) เป็นจำนวนจริงใดๆ
\((A-B)(A+B)=A^{2}-BA+BA-B^{2}=A^{2}-B^{2}\)
หรือ สรุปง่ายได้ดังนี้ครับ
\(A^{2}-B^{2}=(A-B)(A+B)\)
เรียก \(A^{2}-B^{2}\) ว่าผลต่างกำลังสองครับ(ฟอร์มของผลต่างกำลังสอง)
ดังนั้นเราจะได้ว่า
อะไรก็ตามที่ยกกำลังสองแล้วลบกันจะเท่ากับ ตัวข้างหน้าลบตัวข้างหลัง คูณกับ ตัวข้างหน้าบวกตัวข้างหล้ง หรือที่เราท่องจำกันบ่อยๆ คือ หน้ากำลังสองลบหลังกำลังสอง เท่ากับ หน้าลบหลัง คูณกับ หน้าบวกหลัง
จากตรงนี้เราจะได้ว่า
\(x^{2}-y^{2}=(x-y)(x+y)\)
\(m^{2}-n^{2}=(m-n)(m+n)\)
\(dog^{2}-cat^{2}=(dog-cat)(dog+cat)\)
\(p^{2}-q^{2}=(p-q)(p+q)\)
\(2222^{2}-1111^{2}=(2222-1111)(2222+1111)\)
\(\sqrt{5}^{2}-\sqrt{3}^{2}=(\sqrt{5}-\sqrt{3})(\sqrt{5}+\sqrt{3})\)
ความรู้ที่จะต้องนำไปใช้ในการแยกตัวประกอบพหุนามดีกรีสองคือ จำนวนจริงทุกจำนวนสามารถที่จะเขียนในรูปของการยกกำลังสองได้ เช่น
\(5\) ถ้าเขียนในรูปของการยกกำลังสองคือ \(\sqrt{5}^{2}\)
\(3\) ถ้าเขียนในรูปของการยกกำลังสองคือ \(\sqrt{3}^{2}\)
\(4\)ถ้าเขียนในรูปของการยกกำลังสองคือ \(2^{2}\)
\(5x\) ถ้าเขียนในรูปของการยกกำลังสองคือ \((\sqrt{5x})^{2}\) เมื่อ \(x\) คือจำนวนจริงใดๆ
\(y\) ถ้าเขียนในรูปของการยกกำลังสองคือ \((\sqrt{y})^{2}\) เมื่อ \(y\) คือจำนวนจริงใดๆ
เป็นยังไงบ้างครับ พอจะเข้าใจไหมครับ เดียวมาดูตัวอย่างกันต่อครับ
แบบฝึกหัด
1.จงแยกตัวประกอบของพหุนามต่อไปนี้
\(1)\quad x^{2}-1\)
วิธีทำ \(x^{1}-1\) ทำให้อยู่ในฟอร์มของผลต่างกำลังสองฟอร์มนี้ครับ \(A^{2}-B^{2}\)
\begin{array}{lcl}x^{2}-1&=&x^{2}-1^{2}\\&=&(x-1)(x+1)\end{array}
\(2)\quad 16-x^{2}\)
วิธีทำ
\begin{array}{lcl}16-x^{2}&=&4^{2}-x^{2}\\&=&(4-x)(4+x)\end{array}
\(3)\quad x^{2}-64\)
วิธีทำ
\begin{array}{lcl}x^{2}-64&=&x^{2}-8^{2}\\&=&(x-8)(x+8)\end{array}
\(5)\quad 225-x^{2}\)
วิธีทำ
\begin{array}{lcl}225-x^{2}&=&15^{2}-x^{2}\\&=&(15-x)(15+x)\end{array}
\(7)\quad x^{2}-625\)
วิธีทำ
\begin{array}{lcl}x^{2}-625&=&x^{2}-25^{2}\\&=&(x-25)(x+25)\end{array}
หรือสามารถรับชมคลิปได้ครับ