สมบัติของผลคูณเชิงเวกเตอร์นั้นเอาไว้นำไปใช้ทำโจทย์ผลคูณเชิงเวกเตอร์ครับ ซึ่งสมบัตินั้นก็มีดังนี้ครับ

ก่อนอื่นที่จะอ่านสมบัติผลคูณเชิงเวกเตอร์แนะนำให้ไปอ่านนี้ก่อนครับผลคูณเชิงเวกเตอร์

1. กำหนด \(\vec{u},\vec{v},\vec{w}\) เป็นเวกเตอร์ใดๆในสามมิติและ \(k\) เป็นจำนวนจริงใดๆ

1) \(\vec{u}\times\vec{v}=-(\vec{v}\times\vec{u})\)

2) \((\vec{u}+\vec{v})\times \vec{w}=(\vec{u}\times\vec{w})+(\vec{v}\times \vec{w})\)

3) \(\vec{u}\times (\vec{v}+\vec{w})=(\vec{u}\times\vec{v})+(\vec{u}\times\vec{w})\)

4) \(\vec{u}\times(k\vec{v})=k(\vec{u}\times\vec{v})\)

5) \((k\vec{u})\times \vec{v}=k(\vec{u}\times\vec{v})\)

6) \(\vec{u}\times\vec{u}=\vec{0}\)

7) \(\vec{i}\times\vec{j}=\vec{k},\vec{j}\times\vec{k}=\vec{i},\vec{k}\times \vec{i}=\vec{j}\)

2. ให้ \(\vec{u},\vec{v},\vec{w}\) เป็นเวกเตอร์ใดๆในสามมิติจะได้ว่า \(\vec{u}\cdot(\vec{v}\times\vec{w})=(\vec{u}\times\vec{v})\cdot \vec{w}\)

3. ถ้า  \(\vec{u}\neq \vec{0}\)  และ \(\vec{v}\neq \vec{0}\) จะได้ว่า \(|\vec{u}\times\vec{v}|=|\vec{u}||\vec{v}|\sin\theta\)

เมื่อ \(\theta\) เป็นมุมระหว่างเวกเตอร์ \(\vec{u}\) และ \(\vec{v}\) , \(0^{\circ}\leq \theta \leq 180^{\circ}\)

ลองใช้สมบัติผลคูณเชิงเวกเตอร์ทำโจทย์เกี่ยวกับผลคูณเชิงเวกเตอร์ดูครับ

ตัวอย่างที่ 1

กำหนดให้ \(\vec{u}=2\vec{i}+\vec{j}-3\vec{k}\)  และ \(\vec{v}=4\vec{i}+3\vec{j}-2\vec{k}\) จงหา

1) \(\vec{u}\times\vec{v}\)

วิธีทำ 

\begin{array}{lcl}\vec{u}\times\vec{v}=\begin{vmatrix}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\2&1&-3\\4&3&-2\end{vmatrix}\end{array}

\begin{array}{lcl}\vec{u}\times\vec{v}&=&\begin{vmatrix}1&-3\\3&-2\end{vmatrix}\vec{i}-\begin{vmatrix}2&-3\\4&-2\end{vmatrix}\vec{j}\\&+&\begin{vmatrix}2&1\\4&3\end{vmatrix}\vec{k}\end{array}

\begin{array}{lcl}\vec{u}\times\vec{v}&=&[(1)(-2)-(3)(-3)]\vec{i}\\&-&[(2)(-2)-(-3)(4)]\vec{j}\\&+&[(2)(3)-(1)(4)]\vec{k}\\\vec{u}\times\vec{v}&=&7\vec{i}-8\vec{j}+2\vec{k}\end{array}

2) \(|\vec{u}\times\vec{v}|\)

วิธีทำ จากข้อที่ 1)  จะได้ว่า

\begin{array}{lcl}|\vec{u}\times\vec{v}|&=&|7\vec{i}-8\vec{j}+2\vec{k}|\\&=&\sqrt{(7)^{2}+(-8)^{2}+2^{2}}\\&=&\sqrt{49+64+4}\\&=&\sqrt{117}\end{array}

3) ค่าของ sine ของมุมระหว่าง \(\vec{u}\) และ \(\vec{v}\)

วิธีทำ จาก

\begin{array}{lcl}|\vec{u}\times\vec{v}|&=&|\vec{u}||\vec{v}|\sin\theta\\\sin\theta&=&\frac{|\vec{u}\times\vec{v}|}{|\vec{u}||\vec{v}|}\quad ......(1)\end{array}

เนื่องจาก

\(\vec{u}=2\vec{i}+\vec{j}-3\vec{k}\)  จะได้

\begin{array}{lcl}|\vec{u}|&=&\sqrt{2^{2}+1^{2}+(-3)^{2}}\\&=&\sqrt{4+1+9}\\&=&\sqrt{14}\end{array}

\(\vec{v}=4\vec{i}+3\vec{j}-2\vec{k}\)  จะได้

\begin{array}{lcl}|\vec{u}|&=&\sqrt{4^{2}+3^{2}+(-2)^{2}}\\&=&\sqrt{29}\end{array}

เอาทั้งสองค่านี้ไปแทนค่าในสมการที่ (1)  จะได้

\begin{array}{lcl}\sin\theta&=&\frac{\sqrt{117}}{\sqrt{14}\sqrt{29}}\end{array}

---