ข้อสอบสมาคมคณิตศาสตร์ ม.ต้น ปี 2544 ข้อ 3 เราไปลองทำกันครับ รู้สึกว่าข้อนี้เป็นความรู้ที่เราจะได้เรียนตอน ม. 3 เรื่องสมการกำลังสอง(quadratic equation)
3. ถ้า \(r_{1}\) และ \(r_{2}\) เป็นรากของสมการ \(ax^{2}-kx=1\) เมื่อ \(a\neq 0\) แล้ว \(r_{1}+r_{2}+r_{1}\cdot r_{2}\) มีค่าเท่าใด
วิธีทำ ขอนี้อย่างที่ผมบอกแล้วครับเป็นสมการกำลังสองนั่นเองครับซึ่งรูปแบบทั่วไปของสมการกำลังสองคือ
\[ax^{2}+bx+c=0\]
ซึ่งสมการกำลังสองนี้มีคำตอบอยู่ในรูปแบบ
\[x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}\]
เรามาทำข้อนี้กันต่อเลยครับ จาก
\begin{array}{lcl}ax^{2}-kx&=&1\\ax^{2}-kx-1&=&0\end{array}
ซึ่งจะเห็นว่า \(b=-k\quad ,c=-1\)
ดังนั้นคำตอบของสมการนี้คือ
\begin{array}{lcl}x&=&\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}\\x&=&\frac{k\pm\sqrt{k^{2}+4a}}{2a}\end{array}
โจทย์บอกว่าให้ \(r_{1}\) และ \(r_{2}\) เป็นคำตอบของสมการ ผมเลยให้
\[r_{1}=\frac{k+\sqrt{k^{2}+4c}}{2a}\]
\[r_{2}=\frac{k-\sqrt{k^{2}+4c}}{2a}\]
ต่อไปเราก็หาค่าของ \(r_{1}+r_{2}\) ครับ
\begin{array}{lcl}r_{1}+r_{2}&=&\frac{k+\sqrt{k^{2}+4c}}{2a}+\frac{k-\sqrt{k^{2}+4c}}{2a}\\&=&\frac{2k}{2a}\\&=&\frac{k}{a}\end{array}
ต่อไปหาค่าของ \(r_{1}\cdot r_{2}\) ครับ
\begin{array}{lcl}r_{1}\cdot r_{2}&=&\frac{k+\sqrt{k^{2}+4c}}{2a}\cdot \frac{k+\sqrt{k^{2}+4c}}{2a}\\&=&\frac{k^{2}-(k^{2}+4a)}{4a^{2}}\\&=&\frac{-4a}{4a^{2}}\\&=&-\frac{1}{a}\end{array}
ดังนั้น
\begin{array}{lcl}r_{1}+r_{2}+r_{1}\cdot r_{2}&=&-\frac{1}{a}+\frac{k}{a}\\&=&\frac{k-1}{a}\end{array}