ถ้าสามเหลี่ยม ABC เป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก ซึ่งมี C เป็นมุมฉาก
ด้านตรงข้ามมุมฉาก(C) ยาว c
ด้านตรงข้ามมุม A ยาว a
ด้านตรงข้ามมุม B ยาว b
ดังรูป
จะได้ความสัมพันธ์ระหว่างความยาวของด้านทั้งสามของรูปสามเหลี่ยมสามเหลี่ยมมุมฉาก ABC ดังนี้
\(c^{2}=a^{2}+b^{2}\)
ทฤษฎีบทพีทาโกรัสนี้ ง่ายมากๆครับ และสามารถนำไปประยุกต์ใช้ในการแก้ปัญหาได้ตลอด และชอบออกข้อสอบ o-net เท่าที่ติดตามออกทุกปีครัับ ฉนั้นต้องเข้าใจและต้องทำโจทย์เยอๆครับ
ถ้าแปลเป็นภาษาพูดง่ายๆ ของทฤษฎีนี้ก็คือ ด้านตรงข้ามมุมยกกำลังสอง เท่ากับ ด้านที่เหลือยกกำลังสองบวกกัน ครับ มาดูตัวอย่างการนำไปใช้กันครับ
ตัวอย่างที่ 1 จงหาความยาวที่เหลือของรูปสามเหลี่ยมต่อไปนี้
วิธีทำ จากรูปจะเห็นได้ว่าสามเหลี่ยมที่กำหนดให้เป็นสามเหลี่ยมมุมฉากน่ะครับ ดังนั้นเราสามารถหาความยาวด้านที่เหลือได้โดยใช้ทฤษฏีบทพีทาโกรัสได้เลยครับ
จากทฤษฏีบทพีทาโกรัส คือ ด้านตรงข้ามมุมฉากยกกำลังสอง เท่ากับ ด้านที่เหลือยกกำลังสองแล้วบวกกัน นั่นคือ
\(c^{2}=a^{2}+b^{2}\)
จากรูป a=4 , b=3 หาค่าของ c ครับ
จะได้ว่า
\begin{array}{lcl}c^{2}&=&4^{2}+3^{2}\\&=&16+9\\&=&25\end{array}
นั่นคือ \(c^{2}=25\)
ดังนั้น c=5 (เอาเฉพาะค่าบวกนะครับค่าลบไม่เอาเพราะเป็นความยาวต้องใช้ค่าบวก)
ตอบ c ยาว 5 หน่วย
ตัวอย่างที่ 2 จงหาความยาวที่เหลือของสามเหลี่ยมต่อไปนี้
วิธีทำ จากรูปจะเห็นได้ว่าสามเหลี่ยมที่กำหนดให้เป็นสามเหลี่ยมมุมฉากน่ะครับ ดังนั้นเราสามารถหาความยาวด้านที่เหลือได้โดยใช้ทฤษฏีบทพีทาโกรัสได้เลยครับ
จากทฤษฏีบทพีทาโกรัส คือ ด้านตรงข้ามมุมฉากยกกำลังสอง เท่ากับ ด้านที่เหลือยกกำลังสองแล้วบวกกัน
ด้านตรงข้ามมุมฉากคือด้าน d
นั่นคือ
\begin{array}{lcl}d^{2}&=&7^{2}+24^{2}\\&=&49+576\\&=&625\end{array}
ดังนั้น \(d=5\)
ตอบ d ยาว 25 หน่วย
ตัวอย่างที่ 3 จงหาความยาวที่เหลือของสามเหลี่ยมต่อไปนี้
วิธีทำ จากรูปจะเห็นได้ว่าสามเหลี่ยมที่กำหนดให้เป็นสามเหลี่ยมมุมฉากน่ะครับ ดังนั้นเราสามารถหาความยาวด้านที่เหลือได้โดยใช้ทฤษฏีบทพีทาโกรัสได้เลยครับ
จากทฤษฏีบทพีทาโกรัส คือ ด้านตรงข้ามมุมฉากยกกำลังสอง เท่ากับ ด้านที่เหลือยกกำลังสองแล้วบวกกัน
ด้านตรงข้ามมุมฉากคือด้าน c
นั่นคือ
\begin{array}{lcl}c^{2}&=&5^{2}+12^{2}\\&=&25+144\\&=&169\end{array}
ดังนั้น \(c=13\)
ตอบ c ยาว 13 หน่วย
ตัวอย่างที่ 4 จงหาความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉากของรูปสามเหลี่ยมต่อไปนี้
วิธีทำ จากรูปจะเห็นได้ว่ารูปที่กำหนดให้เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ดังนั้นเราสามารถใช้ทฤษฎีพีทาโกรัสหาความยาวของสามเหลี่ยมนี้ได้ครับ
จากรูปจะได้ว่า
\begin{array}{lcl}AB^{2}&=&AC^{2}+BC^{2}\\&=&8^{2}+15^{2}\\&=&64+225\\&=&289\end{array}
ดังนั้น \(AB=17\) ยาว 17 หน่วยครับ
ตอบ ด้านตรงข้ามมุมฉากยาว 17 หน่วย
ตัวอย่างที่ 4 จงหาความยาวของด้านที่เหลื่อของสามเหลี่ยมต่อไปนี้
วิธีทำ จากรูปจะเห็นได้ว่า
ด้านตรงข้ามมุมฉาก คือ PR ยาว 15 หน่วย
ด้าน QR ยาว 12 หน่วย
ต้องหาความยาวของ PQ
เนื่องจากรูปสามเหลี่ยมรูปนี้เป็นรูปสามเหลี่ยมุมฉาก ดังนั้น สามารถหาความที่เหลือโดยใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัส
คือ ด้านตรงข้ามมุมฉากยกกำลังสอง = ด้านที่เหลื่อยกกำลังสองแล้วนำมาบวกกัน
นั่นคือ
\(PR^{2}=QR^{2}+PQ^{2}\)
แทนค่าความยาวตามที่โจทย์กำหนดให้ลงไปเลยครับ จะได้
\(15^{2}=12^{2}+PQ^{2}\) แก้สมการเพื่อหาค่า \(PQ\) คับ จะได้
\begin{array}{lcl}PQ^{2}&=&15^{2}-12^{2}\\&=&225-144\\&=&81\end{array}
ดังนั้น \(PQ=9\)
นั่นคือ PQ ยาว 9 หน่วย
ตอบ ความยาวของด้านที่เหลือคือด้าย PQ ยาว 9 หน่วย