การใช้เวกเตอร์ในการหาปริมาตรของทรงสี่เหลี่ยมด้านขนาน

\begin{array}{lcl}\vec{|u|}cos\theta |\vec{v}\times \vec{r}|&=&\vec{|u|}|\vec{v}\times\vec{r}|cos\theta\\&=&|\vec{u}\cdot(\vec{v}\times \vec{r})|\end{array}

จากรูปข้างบนอาจจะดูยากซับซ้อนเกินไปสำหรับคนที่ไม่มีพื้นฐาน มาดูรูปด้านล่างนะคับ

เราสามารถหาปริมาตรของทรงสี่เหลี่ยมด้านขนานได้จาก \(|\vec{u}\cdot (\vec{v}\times\vec{w})|\)

มาดูตัวอย่างกันเล็กน้อยนะคับ 

Ex.1 จงหาปริมาตรของทรงสี่เหลี่ยมด้านขนานที่เกิดจากเวกเตอร์ต่อไปนี้

1) 

\(\begin{bmatrix}0\\1\\-2\end{bmatrix}\quad ,\begin{bmatrix}1\\-1\\1\end{bmatrix}\quad ,\begin{bmatrix}2\\0\\-1\end{bmatrix}\)

วิธีทำ  กำหนดให้

\(\vec{u}=\begin{bmatrix}0\\1\\-2\end{bmatrix}\quad ,\vec{v}=\begin{bmatrix}1\\-1\\1\end{bmatrix}\quad ,\vec{w}=\begin{bmatrix}2\\0\\-1\end{bmatrix}\)

จะได้

ข้อนี้ปริมาตรคือ 1 ลูกบาศก์หน่วยนะคับ จะเห็นว่าข้อนี้ต้องหาผลคูณเชิงเวกเตอร์ด้วย ซึ่งสามารถหาได้โดยการใช้ความรู้การหา ดีเทอร์มิแนนท์ของเมทริกซ์ 3 มิติ ไปอ่านดีๆนะคับ

Ex.2 ถ้ารูปทรงสี่เหลี่ยมหน้าขนานที่เกิดจาก \(\begin{bmatrix}1\\-1\\2\end{bmatrix}\quad ,\begin{bmatrix}2\\x\\-1\end{bmatrix}\) และ \(\begin{bmatrix}3\\2\\-1\end{bmatrix}\) มีปริมาตรเท่ากับ 3 แล้วจงหาค่าของ \(x\) 

วิธีทำ ข้อนี้ก็ไม่มีอะไร แก้สมการธรรมดาคล้ายกับข้อข้างบน ค่อยๆอ่าน จะเข้าใจเอง แต่ในตอนท้ายจะมีการแก้สมการที่ติดค่าสัมบูรณ์ด้วย ก็ไม่ยาก หาทบทวนเองได้คับในเว็บก็มี