1. พื้นที่ที่แรเงาในรูปข้างล่างนี้ เป็นกี่ตารางนิ้ว เมื่อวงกลมมีจุดศูนย์กลางที่จุด \(O\) และรัศมียาว 2 นิ้ว

1. \(4\pi-2\sqrt{3}\)
2. \(4\pi-\sqrt{3}\)
3. \(4(\pi -2\sqrt{3})\)
4. \(4(\pi - \sqrt{3})\)

วิธีทำ ข้อนี้วิธีทำก็คือ เอาพื้นที่วงกลม ลบอออกด้วย พื้นที่ของสี่เหลี่ยมแนบในวงกลม ก็จะได้พื้นที่ที่แรเงาคับ

พื้นที่วงกลม \(O=\pi r^{2}=\pi (2)^{2}=4\pi\)

พิจารณาสามเหลี่ยม \(OPE\) จะได้ว่า \(\cos 30^{\circ}=\frac{OP}{OE}\) อย่าลืมนะ \(OE\) เป็นรัศมี ดังนั้น \(OE=2\) ดังนั้น

\begin{array}{lcl}\cos 30^{\circ}&=&\frac{OP}{OE}\\\frac{\sqrt{3}}{2}&=&\frac{OP}{2}\\OP&=&\sqrt{3}\end{array}

ตอนนี้เราได้ \(OP=\sqrt{3}\) ดังนั้น \(CB=\sqrt{3}+\sqrt{3}=2\sqrt{3}\)

พิจารณาสามเหลี่ยมมุมฉาก \(CBE\) จากความรู้ของทฤษฎีปีทาโกรัสเราจะได้

\(CE^{2}=BE^{2}+CB^{2}\) จะได้ว่า

\begin{array}{lcl}CE^{2}&=&BE^{2}+CB^{2}\\4^{2}&=&BE^{2}+(2\sqrt{3})^{2}\\BE^{2}&=&16-12\\BE^{2}&=&4\\BE&=&2\end{array}

เราจึงได้ว่าพื้นที่ของสี่เหลี่ยม \(BEDC\) คือ

พื้นที่สี่เหลี่ยม \(BEDC\) เท่ากับ \(2\times 2\sqrt{3}=4\sqrt{3}\)

ดังนั้นพื้นที่แรเงาคือ

พื้นที่แรเงา = พื้นที่วงกลม \(O\) - พื้นสี่เหลี่ยม \(BEDC\)\(=4\pi - 4\sqrt{3}=4(\pi-\sqrt{3})\)