การคูณเวกเตอร์ด้วยสเกลาร์ พูดให้เข้าใจง่ายเป็นภาษาชาวบ้านก็คือการเอาตัวเลขไปคูณกับเวกเตอร์   สมมติมีเวกเตอร์เวกเตอร์หนึ่งให้ชื่อว่าเวกเตอร์  \(\vec{u}\)    ถ้าเราเอาตัวเลขไปคูณยู  ผมเอาเลข 4 แล้วกัน ก็จะได้เวกเตอร์ใหม่ขึ้นมาคือเวกเตอร์  \(4\vec{u}\)     เวกเตอร์ที่เกิดขึ้นมาใหม่นี้เป็นเวกเตอร์ที่มีทิศทางเดียวกันเวกเตอร์ยูและมีขนาดเป็น4เท่าของเวกเตอร์ยู

แต่ผมเอาเลข -4  ไปคูณกับเวกเตอร์ยู ก็จะได้เวกเตอร์ใหม่ขึ้นมาคือ  \(-4\vec{u}\)   เวกเตอร์ที่เกิดขึ้นมาใหม่นี้เป็นเวกเตอร์ที่มีทิศทางตรงกันข้ามกับเวกเตอร์ยูและมีขนาดเป็น4เท่าของเวกเตอร์ยู     

จากภาพด้านล่างนะครับ จะเห็นเวกเตอร์สีเขียวคือเวกเตอร์\(\vec{u}\) และสีดำคือเวกเตอร์  \(\vec{2u}\)    ซึ่งเวกเตอร์สองยูเป็นเวกเตอร์ที่มีขนาดเป็นสองเท่าของเวกเตอร์ยูและมีทิศทางเดียวกันกับยูด้วย

ต่อไปมาดูนิยามที่สำคัญสำหรับการคูณเวกเตอร์ด้วยสเกลาร์

นิยาม

กำหนดให้  \(a\)  เป็นจำนวนจริง และ   \(\vec{u}\)    เป็นเวกเตอร์  ผลคูณระหว่าง   \(a\)  และ   \(\vec{u}\)    จะเป็นเวกเตอร์ เขียนแทนด้วย   \(a\vec{u}\)   พูดเป็นภาษาชาวบ้านก็คือ ผลคูณระหว่างตัวเลขกับเวกเตอร์จะออกมาเป็นเวกเตอร์ครับ

1. ถ้า  \(a=0\)   แล้ว   \(a\vec{u}=\vec{0}\)      ความหมายก็คือเอาเลขศูนย์ไปคูณกับเวกเตอร์อะไรก็ได้ผลลัพธ์ออกมาจะเป็นเวกเตอร์ศูนย์

2. ถ้า  \(a>0\)   แล้ว  \(a\vec{u}\)     จะมีขนาดเท่ากับ  \(|a||\vec{u}|\)    และมีทิศทางเดียวกันกับ  \(\vec{u}\)

3.  ถ้า  \(a<0\)    แล้ว  \(a\vec{u}\)    จะมีขนาดเท่ากับ   \(|a||\vec{u}|\)   และมีทิศทางตรงกันกันข้ามกับ   \(\vec{u}\)    คือถ้าเอาเลขลบคูณเข้าจะมีทิศทางตรงกันข้ามครับ

ต่อไปเรามาดูแบบฝึกหัดกันดีกว่า ไอ้พวกบทนิยามอย่าอ่านมาก อ่านพอเข้าใจอย่าไปจำมันเยอะครับ ต้องหัดทำแบบฝึกหัดเยอะๆแล้วนิยามจะได้โดยอัตโนมัติ

แบบฝึกหัด

1. จากรูป  ABCD  เป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานมี O เป็นจุดกึ่งกลางของเส้นทแยงมุม BD  ถ้า \(\vec{AB}=\vec{u},\vec{AD}=\vec{v}\)    จงเขียนเวกเตอร์ \(\vec{AO}\)   และ  \(\vec{BO}\)    ในรูปของ  \(\vec{u}\)   และ  \(\vec{v}\)

วิธีทำ   การที่เราจะทำแบบฝึกหัดข้อนี้ได้เราต้องเข้าใจเกี่ยวกับการบวก  การลบเวกเตอร์คือต้องรู้ว่าเวกเตอร์เส้นนี้เกิดจากเส้นไหนบ้างบวกกัน  อันนี้ให้ไปทบทวนเองครับ  เรามาทำโจทย์ข้อนี้กันเลยดีกว่า   จากรูปจะเห็นว่า

\(\vec{AO}=\vec{AB}+\vec{BO}\)       เนื่องจากโจทย์กำหนดให้ว่า  \(\vec{AB}=\vec{u}\)  แทนค่าลงไปเราจะได้

\(\vec{AO}=\vec{u}+\vec{BO}\)   ผมให้สมการนี้ชื่อว่าสมการที่ 1 เก็บสมการนี้เอาไว้ก่อน   ต่อไปเราก็หาว่าเวกเตอร์บีโอมันคืออะไรบวกกันบ้าง ซึ่งจากรูปจะเห็นว่าบีโอเป็นครึ่งหนึ่งของ บีดี  ดังนั้นถ้าเขียนเป็นสมการจะได้

\(\vec{BO}=\frac{1}{2}\vec{BD}\)   สมการนี้ให้ชื่อว่าสมการที่ 2    ซึ่งจากรูปเวกเตอร์บีดี เท่ากับ เวกเตอร์บีเอ บวกกับ เวกเตอร์เอดี ก็คือถ้าเขียนเป็นสมการคือ

\(\vec{BD}=\vec{BA}+\vec{AD}\)      ใช้ไหมครับ  ซึ่งโจทย์กำหนดให้  \(\vec{AD}=\vec{v}\)   และ  \(\vec{AB}=\vec{u}\)   จะได้  \(\vec{BA}=-\vec{u}\)   ฉะนั้นจะได้     \(\vec{BD}=-\vec{u}+\vec{v}\)      เอาค่าเวกเตอร์บีดีที่เราได้นี้ไปแทนใน สมการที่ 2   จะได้

\(\vec{BO}=\frac{1}{2}\vec{BD}\)

\(\vec{BO}=\frac{1}{2}(-\vec{u}+\vec{v})\)     แล้วเอาค่าเวกเตอร์บีโอนี้ไปแทนในสมการที่ 1   เพื่อหาคำตอบจะได้

\(\vec{AO}=\vec{u}+\vec{BO}\)

\(\vec{AO}=\vec{u}+\frac{1}{2}(-\vec{u}+\vec{v})\)

\(\vec{AO}=\vec{u}+\frac{1}{2}\vec{v}-\frac{1}{2}\vec{u}\)

\(\vec{AO}=\frac{1}{2}\vec{u}+\frac{1}{2}\vec{v}\)     Ans   ตอบแล้วนะครับไม่รู้เข้าใจกันบ้างไหม ไม่ยากนะค่อยๆทำ

ต่อไปเราไปหาค่าของ  \(\vec{BO}\)  ดีกว่าครับ  ดูรูปเอาเองนะค่อยๆคิดจากรูปจะได้

\(\vec{BO}=\vec{BA}+\vec{AO}\)     เอาที่ทำข้างบนมาใช้ด้วยนะ

\(\vec{BO}=-\vec{u}+\frac{1}{2}\vec{u}+\frac{1}{2}\vec{v}\)

\(\vec{BO}=\frac{1}{2}\vec{v}-\frac{1}{2}\vec{u}\)    Ans  ตอบแล้วนะครับ

---

2. จากรูป กำหนดให้ ABC  เป็นสามเหลี่ยมใดๆ \(\vec{AD}=\vec{a},AD=\frac{1}{4},\vec{BE}=\vec{EC}=\vec{b}\)    และ  F  เป็นจุดกึ่งกลางของ  DC จงเขียนเวกเตอร์ต่อไปนี้ในรูป \(\vec{a}\)   และ  \(\vec{b}\)

2.1)  \(\vec{DF}\)

วิธีทำ  ดูจากรูปเอานะ พยายามศึกษาเกี่ยวกับการบวกเวกเตอร์ที่เป็นแบบลูกศรว่า ลูกศรหรือว่าเวกเตอร์นี้เกิดเส้นไหนบ้างบวกกันหรือลบกัน  ข้อนี้ค่อนข้างยุ่งยากนิดหนึ่งเพราะมีหลายเส้น จากรูป

\begin{array}{}\vec{DF}=\vec{DB}+\vec{BE}+\vec{EC}+\vec{CF}\\ \vec{DF}=4\vec{a}+\vec{b}+\vec{b}+\frac{1}{2}\vec{CD}\end{array}    ให้สมการนี้เป็นสมการที่ 1

จากรูปจะเห็นว่าซีเอฟ เป็นครึ่งหนึ่งของซีดีนะ ดูรูปดีครับ

มาดูเวกเตอร์ซีดีบ้าง  จากรูปจะเห็นว่า

\(\vec{CD}=\vec{CE}+\vec{EB}+\vec{BD}\)      

โจทย์กำหนดให้ว่า  \(\vec{BE}=\vec{EC}=\vec{b}\)     ดังนั้น  \(\vec{EB}=\vec{CE}=-\vec{b}\)  และ  \(\vec{BD}=-3\vec{a}\)  แทนค่าลงไปในสมการที่ 1 เลย  จะได้

\begin{array}{}\vec{DF}=\vec{DB}+\vec{BE}+\vec{EC}+\vec{CF}\\ \vec{DF}=3\vec{a}+\vec{b}+\vec{b}+\frac{1}{2}\vec{CD}\\ \vec{DF}=3\vec{a}+\vec{b}+\vec{b}+\frac{1}{2}\left(\vec{CE}+\vec{EB}+\vec{BD}\right)\\ \vec{DF}=3\vec{a}+2\vec{b}+\frac{1}{2}\left(-\vec{b}-\vec{b}-3\vec{a}\right) \\ \vec{DF}=3\vec{a}+2\vec{b}+\left(-\vec{b}-\vec{b}-\frac{3}{2}\vec{a}\right) \\ \vec{DF}=\frac{3}{2}\vec{a}+\vec{b}\end{array} 

2.2)  \(\vec{AC}\)

วิธีทำ ข้อนี้ง่ายครับพยายามดูรูปดีๆจากรูปจะเห็นว่า

\begin{array}{}\vec{AC}=\vec{AB}+\vec{BC}\\  \vec{AC}=4\vec{a}+2\vec{b}\end{array}

2.3) \(\vec{AF}\)

วิธีทำ  ดูรูปประกอบนะ ในรูปไม่มีเวกเตอร์เอเอฟต้องวาดขึ้นมาเองเลยครับ ข้างบนข้อที่ผ่านมาเอามาช่วยด้วยทำข้อนี้ได้นะครับ จะได้ว่า

\begin{array}{}\vec{AF}=\vec{AB}+\vec{BC}+\vec{CF}\\ \vec{AF}=4\vec{a}+2\vec{b}+-\vec{b}-\frac{3}{2}\vec{a}\\ \vec{AF}= \frac{5}{2}\vec{a}+\vec{b}\end{array}