วันนี้เราจะมาศึกษาเกี่ยวกับตัวกลางเลขคณิต  ตัวกลางเลขคณิตชื่อก็บอกแล้วว่าเป็นตัวกลางดังนั้นตัวกลางเลขคณิตคือตัวที่อยู่ตรงกลาง  ตัวอย่างเช่น

กำหนดลำดับเลขคณิตคือ  5,10,15  ตัวกลางเลขคณิตของลำดับเลขคณิตนี้คือ  10

กำหนดลำดับเลขคณิตคือ  2,3,4,5,6,7   ตัวกลางเลขคณิตแล้วแต่เราจะพิจาณาเช่น

ตัวกลางเลขคณิตระหว่าง 2 และ 4  คือ 3    

ตัวกลางเลขคณิตระหว่าง 2 กับ 5 คือ 3 และ 4 

ตัวกลางเลขคณิตระหว่าง 2 กับ 7 คือ 3,4,5,6  เป็นต้น

ตัวอย่างการหาตัวกลางเลขคณิต

1) กำหนดให้  x เป็นตัวกลางเลขคณิตที่อยู่ระหว่าง a  และ b  จงหา x

วิธีทำ  จากโจทย์จะได้ลำดับ  \(a,x,b\)     เราต้องการหา   \(x\)

เรารู้ว่าลำดับนี้  \(a,x,b\)  เป็นลำดับเลขคณิต ดังนั้นจากความสมบัติของลำดับเลขคณิตเราจะได้ว่า

\(x-a=b-x\)

\(x+x=b+a\)

\(2x=b+a\)

\(x=\frac{b+a}{2}\)

จากข้อที่ 1 นี้ผมพยายามจะโยงไปหาสูตรสำหรับการหาตัวกลางของเลขคณิตในกรณีที่มี 3 พจน์คือใช้สูตรนี้เลยครับ

\(x=\frac{b+a}{2}\)


2)  จงหาตัวกลางเลขคณิตที่อยู่ระหว่าง 12  และ  38

วิธีทำ ให้ \(x\)  เป็นตัวกลางเลขคณิตที่อยู่ระหว่าง 12 และ 38

ถ้าเขียนเรียงกันก็จะได้   \(12,x,38\)      จะเห็นว่า   \(a=12,b=38\)        แทนค่าลงในสูตรเลยครับ

จากสูตร     \(x=\frac{b+a}{2}\)   

\(x=\frac{12+38}{2}\)

\(x=25\)


3)   จงหาตัวกลางเลขคณิตที่อยุ่ระหว่าง  -3  และ 9

วิธีทำ แทนค่าลงไปในสูตรเลยน่ะเรื่องนี้ไม่ยาก จะเห็นว่า   \(a=-3,b=9\)

จากสูตร    \(x=\frac{a+b}{2}\)

\(x=\frac{-3+9}{2}\)

\(x=\frac{6}{2}\)

\(x=3\)

ไม่ยากครับ ตัวอย่างที่ผ่านมากคือการหาตัวกลางเลขคณิตในกรณีที่มี 3 พจน์ ใช้สูตรเลยนะครับ

ต่อไปเรามาดูการหาตัวกลางเลขคณิต  ในกรณีที่ตัวที่อยู่ตรงกลางมี k พจน์

กำหนดให้  \(X,a,b,c,...,j,k,Y\)    เป็นลำดับเลขคณิตที่มีผลต่างร่วมคือ  d  ซึ่งจาก  \(a,b,c,...j,k\)  กำหนดให้มีจำนวนทั้งหมด  k  พจน์ จากสมบัติของลำดับเลขคณิตเราจะได้ว่า

\(a=X+d\)

\(b=X+2d\)

\(c=X+3d\)

\(\vdots\)

\(j=X+(k-1)d\)

\(k=X+kd\)

จากสมบัติของลำดับเลขคณิตเราจะได้ว่า

\(X+d-X=Y-(X+kd)\)

\(d=Y-X-kd\)

\(kd+d=Y-X\)

\(d(k+1)=Y-X\)

\(d=\frac{Y-X}{k+1}\)     เป็นสูตรในการค่า d  ในกรณีที่ตัวกลางเลขคณิตมีจำนวน k  พจน์ส่วน    \(X\)    คือพจน์แรก และ   \(Y\)     คือพจน์สุดท้าย  ดูจากสูตรอาจจะยากเรามาดูวิธีการใช้สูตรเลยดีกว่าครับ


ตัวอย่าง จงหาตัวกลางเลขคณิต 4 จำนวน ระหว่าง 17 กับ 32

วิธีทำ จากโจทย์จะเห็นว่า \( k=4,X=17,Y=32\)

แทนค่าในสูตรเลยครับ    

\(d=\frac{Y-X}{k+1}\) 

\(d=\frac{32-17}{4+1}\)

\(d=\frac{15}{5}\)

\(d=3\)

ดังนั้นลำดับนี้มีผลต่างร่วมหรือว่าค่า  d=3  ก็เพิ่มขึ้นหรือว่าบวกเพิ่มทีละ 3 นั่นเอง

พจน์แรกคือ 17  พจน์ที่สองต้องเป็น 17+3=20   บวกเพิ่มอย่างนี้เรื่อยๆครับจะได้

17,20,23,26,29,32  นั่นคือตัวกลางเลขคณิตที่อยู่ระหว่าง 17 กับ 32 คือ  20,23,26,29  นั่นเอง


ตัวอย่าง จงหาตัวกลางเลขคณิต 4 จำนวนที่อยู่ระหว่าง -8 กับ 17

วิธีทำ ใช้สูตรเลยครับ  k=4  นะครับ

จากสูตร \(d=\frac{Y-X}{k+1}\)

\(d=\frac{17-(-8)}{4+1}\)

\(d=\frac{25}{5}\)

\(d=5\)

จะต้องบวกเพิ่มอีกทีละ  5 นั่นเอง จะได้

พจน์แรกคือ -8   

พจน์ที่สองคือ -8+5=-3     บวกเพิ่มทีละ 5 ไปเรื่อยๆจะได้

\(-8,-3,2,7,12,17\)          ดังนั้นตัวกลางเลขคณิต 4 ตัวคือ  \(-3,2,7,12\)    นั่นเอง

ปล. ศึกษาตัวกลางเลขคณิตแล้วอย่าลืมไปศึกษาตัวกลางเรขาคณิต ด้วยครับ