เวกเตอร์หนึ่งหน่วย คือ เวกเตอร์ที่มีขนาดเท่ากับ 1

มองภาพเห็นไหม ยกตัวอย่างให้เห็นภาพชัดเจน 

สมมุติเรามีเวกเตอร์ \(\vec{u}\)

ซึ่งผมกำหนดให้ \(|\vec{u}|=3\) 

จะเห็นว่า \(\frac{1}{3}\vec{u}\) คือเวกเตอร์หนึ่งหน่วยที่มีทิศทางเดียวกับ \(\vec{u}\)

ดูภาพประกอบ

ถ้า \(|\vec{u}|=10\)

\(\frac{1}{10}\vec{u}\) เป็นเป็นเวกเตอร์หนึ่งหน่วยที่มีทิศทางเดียวกับ \(\vec{u}\)

ดังนั้นสรูปก็คือ กำหนดให้ \(\vec{u}\) เป็นเวกเตอร์ใดๆ

เวกเตอร์หนึ่งหน่วยที่มีทิศทางเดียวกันกับ \(\vec{u}\) คือ

\[\frac{1}{|\vec{u}|}\vec{u}\]

ถ้าเรามีเวกเตอร์ \(\vec{u}\)  เวกเตอร์หนึ่งหน่วยที่มีทิศทางเดียวกันกับ \(\vec{u}\) ก็คือ \(\frac{1}{|\vec{u}|}\vec{u}\)

ถ้าเรามีเวกเตอร์ \(\vec{u}\)  เวกเตอร์หนึ่งหน่วยที่มีทิศทางตรงข้ามกับ \(\vec{u}\) ก็คือ \(-\frac{1}{|\vec{u}|}\vec{u}\)

ถ้าเรามีเวกเตอร์ \(\vec{u}\)  เวกเตอร์ที่มีทิศทางเดียวกับ\(\vec{u}\) และมีขนาดเท่ากับ k ก็คือ \(\frac{k}{|\vec{u}|}\vec{u}\)

เวกเตอร์ที่สำคัญอีกตัวหนึ่งก็คือเวกเตอร์หนึ่งหน่วยตามแนวแกน X แกน Y และ แกน Z หรือที่เรียกว่า \(\vec{i},\vec{j},\vec{k}\) อ่านได้ตามลิงค์นี้ครับ เวกเตอร์ i,j,k คือ

มาดูตัวอย่างการทำแบบฝึกหัดเกี่ยวกับเวกเตอร์หนึ่งหน่วย

ตัวอย่าง 1 จงหาเวกเตอร์หนึ่งหน่วยที่มีทิศทางเดียวกันกับเวกเตอร์ \(\begin{bmatrix}3\\4\end{bmatrix}\)

วิธีทำ ผมให้เวกเตอร์ \(\vec{u}=\) \(\begin{bmatrix}3\\4\end{bmatrix}\)

ดังนั้นเวกเตอร์หนึ่งหน่วยที่มีทิศทางเดียวกับเวกเตอร์ \(\vec{u}\)  คือ \(\frac{1}{|\vec{u}|}\vec{u}\)

หาขนาดของเวกเตอร์ยูซึ่งก็คือ \(|\vec{u}|=\sqrt{3^{2}+4^{2}}=5\)

คำตอบก็คือ เวกเตอร์หนึ่งหน่วยที่มีทิศทางเดียวกันกับเวกเตอร์ยูคือ

\(\frac{1}{|\vec{u}|}\vec{u}=\frac{1}{5}\)\(\begin{bmatrix}3\\4\end{bmatrix}\)


ตัวอย่าง 2 จงหาเวกเตอร์หนึ่งหน่วยที่มีทิศตรงข้ามกับ \(\begin{bmatrix}-1\\2\end{bmatrix}\)

วิธีทำ ผมให้เวกเตอร์ \(\vec{m}=\)\(\begin{bmatrix}-1\\2\end{bmatrix}\)

ดังนั้นเวกเตอร์หนึ่งหน่วยที่มีทิศตรงข้ามกับเวกเตอร์ \(\vec{m}\) คือ \(-\frac{1}{|\vec{m}|}\vec{m}\)

หาขนาดของเอ็ม ซึ่งก็คือ \(|\vec{m}|=\sqrt{(-1)^{2}+2^{2}}=\sqrt{5}\)

ดังนั้น เวกเตอร์หนึ่งหน่วยที่มีทิศทางตรงข้ามกับเวกเตอร์เอ็มคือ

\(-\frac{1}{|\vec{m}|}\vec{m}=-\frac{1}{\sqrt{5}}\)\(\begin{bmatrix}-1\\2\end{bmatrix}\)


ตัวอย่าง 3  กำหนดให้

\(\vec{u}=\begin{bmatrix}5\\3\\-4\end{bmatrix}\)

\(\vec{v}=\begin{bmatrix}2\\-1\\1\end{bmatrix}\)

จงหาเวกเตอร์สองหน่วยที่มีทิศทางเดียวกันกับ \(\vec{u}-\vec{v}\)

วิธีทำ ขั้นตอนแรกหาค่าของ \(\vec{u}-\vec{v}\)  ก่อนครับจะได้

\begin{array}{lcl}\vec{u}-\vec{v}&=&\begin{bmatrix}5\\3\\-4\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}2\\-1\\1\\\end{bmatrix}\\&=&\begin{bmatrix}3\\4\\-5\end{bmatrix}\\&=&3\vec{i}+4\vec{j}-5\vec{k}\end{array}

ขั้นตอนที่สอง หาขนาดของ \(\vec{u}-\vec{v}\)

\begin{array}{lcl}|\vec{u}-\vec{v}|&=&\sqrt{3^{2}+4^{2}+(-5)^{2}}\\&=&\sqrt{9+16+25}\\&=&\sqrt{50}\\&=&5\sqrt{2}\end{array}

ดังนั้นเวกเตอร์สองหน่วยที่มีทิศทางเดียวกันกับ \(\vec{u}-\vec{v}\)  คือ

\begin{array}{lcl}\frac{2}{|\vec{u}-\vec{v}|}(\vec{u}-\vec{v})&=&\frac{2}{5\sqrt{2}}(3\vec{i}+4\vec{j}-5\vec{k})\\&=&\frac{2}{5\sqrt{2}}\begin{bmatrix}3\\4\\-5\end{bmatrix}\\&=&\frac{2\sqrt{2}}{5\sqrt{2}\sqrt{2}}\begin{bmatrix}3\\4\\-5\end{bmatrix}\\&=&\frac{\sqrt{2}}{5}\begin{bmatrix}3\\4\\-5\end{bmatrix}\end{array}


ตัวอย่าง 4 กำหนดให้ P(1,3,4) และ Q(3,-3,1) จงหาเวกเตอร์หนึ่งหน่วยที่มีทิศทางตรงกันข้ามกับ \(\vec{PQ}\) 

วิธีทำ 

\begin{array}{lcl}\vec{PQ}&=&\begin{bmatrix}3-1\\-3-3\\1-4\end{bmatrix}\\&=&\begin{bmatrix}2\\-6\\-3\end{bmatrix}\end{array}

ต่อไปหาขนาดของ \(\vec{PQ}\)

\begin{array}{lcl}|\vec{PQ}|&=&\sqrt{2^{2}+(-6)^{2}+(-3)^{2}}\\&=&\sqrt{49}\\&=&7\end{array}

ดังนั้นเวกเตอร์หนึ่งหน่วยที่มีทิศทางตรงกันข้ามกับ \(\vec{PQ}\)  คือ

\begin{array}{lcl}-\frac{1}{|\vec{PQ}|}(\vec{PQ})&=&-\frac{1}{7}\begin{bmatrix}2\\-6\\-3\end{bmatrix}\end{array}


ตัวอย่างที่ 5 จงหาเวกเตอร์ที่มีทิศทางเดียวกับเวกเตอร์ \(2\vec{i}-\vec{j}+2\vec{k}\) และมีขนาดเท่ากับเวกเตอร์ \(-2\vec{i}-2\vec{j}+\vec{k}\) 

วิธีทำ  ข้อนี้ใช้ความรู้เกี่ยวกับเวกเตอร์หนึ่งหน่วย (Unit Vector)มาช่วยครับ ผมจะกำหนดให้

\(\vec{u}=2\vec{i}-\vec{j}+2\vec{k}\) และ

\(\vec{v}=-2\vec{i}-2\vec{j}+\vec{k}\) 

ดังนั้น

\(|\vec{u}|=\sqrt{2^{2}+(-1)^{2}+2^{2}}=3\)

\(|\vec{v}|=\sqrt{(-2)^{2}+(-2)^{2}+1^{2}}=3\)

ผมจะหาเวกเตอร์หนึ่งหน่วยที่มีทิททางเดียวกันกับเวกเตอร์ \(\vec{u}\) ก่อนนะครับดังนั้นจากความรู้เรื่องเวกเตอร์หนึ่งหน่วย (Unit Vector)จะได้ว่าเวกเตอร์หนึ่งหน่วย (Unit Vector)ที่มีทางเดียวกับ \(\vec{u}\) คือ\(\frac{1}{|\vec{u}|}\vec{u}\)  ซึ่งจะได้

\begin{array}{lcl}\frac{1}{|\vec{u}|}\vec{u}&=&\frac{1}{3}(2\vec{i}-\vec{j}+2\vec{k})\\&=&\frac{2}{3}\vec{i}-\frac{1}{3}\vec{j}+\frac{2}{3}\vec{k}\end{array}

ดังนั้นตอนนี้เราได้เวกเตอร์หนึ่งหน่วยที่มีทิศทางกับ \(\vec{u}\) และตอนนี้เราต้องทำเวกเตอร์ที่ได้นี้ให้มีขนาดเท่ากับ \(\vec{v}\)  ก็คือทำให้มีขนาดเท่ากับ \(3\) นั่นเองเพราะว่า \(|v|=3\)  ซึ่งทำได้โดยการเอา \(3\) คูณเข้าไปนั่นเองครับจะได้

\begin{array}{lcl}3(\frac{2}{3}\vec{i}-\frac{1}{3}\vec{j}+\frac{2}{3}\vec{k})&=&2\vec{i}-\vec{j}+2\vec{k}\end{array}

ดังนั้นเวกเตอร์ที่มีทิศทางเดียวกันกับ \(2\vec{i}-\vec{j}+2\vec{k}\) และมีขนาดเท่ากับเวกเตอร์ \(-2\vec{i}-2\vec{j}+\vec{k}\)  คือ

\[2\vec{i}-\vec{j}+2\vec{k}\]

ดูเป็นแนวทางในการทำนะคับ ถ้าเปลี่ยนตัวเลขวิธีการทำก็ทำแบบเดียวกันเลยครับ