รูทซ้อนรูท

เมื่อวานลองไปค้นหาข้อมูลเกี่ยวกับข้อสอบ o-net เก่าๆดูปรากฎว่าไปเจอการหาค่าจำนวนที่ติดรูทที่อยู่ในรูปแบบ

\(\sqrt{a\pm2\sqrt{b}}\)         บางคนเรียกพวกนี้ว่า รูทซ้อนรูท  หรือบางคนเรียกว่า รากซ้อนราก ซึ่งวันนี้ผมจะยกตัวอย่างการหาคำตอบของไอ้พวกนี้ให้ดู  ไม่ยากแต่ออกสอบ o-net ทุกปีนะ อย่างไรก็อ่านศึกษาไว้ ไม่เสียหลาย

 ผมจะสรุปวิธีการหาคำตอบให้เลยนะครับ  ส่วนใครอยากรู้วิธีการว่ามาจากไหนก็ลองพิสูจน์เองไม่ยาก แต่ถ้าทำไม่ได้ก็ลองเสิร์ทหากันเอาเองในกูเกินก็น่าจะมีครับ เรามาดูกันเลย

ถ้ามีใครให้เราหาคำตอบของ ไอ้พวกรูทซึ่งอยู่ในรูปแบบ 

\(\sqrt{a\pm2\sqrt{b}}\) 

คำตอบของมันจะได้คือ

\(\sqrt{a+2\sqrt{b}}=\sqrt{x}+\sqrt{y}\)         

เมื่อ            \(x+y=a \quad  and \quad xy=b\)

 

\(\sqrt{a-2\sqrt{b}}=\sqrt{x}-\sqrt{y}\)           

  เมื่อ              \(x+y=a   , xy=b   , \quad x>y \)

บางคนดูสูตรอาจจะงงๆ เรามาดูตัวอย่างประกอบกันครับ

ตัวอย่างทีี่ 1 จงหาคำตอบของ  \(\sqrt{5+2\sqrt{6}}\)

วิธีทำ จะเห็นว่าโจทย์ที่เข้าให้มาอยู่ในฟอร์มของ   \(\sqrt{a+2\sqrt{b}}\) 

ซึ่ง จะเห็นว่า  a  คือ 5   และ  b  คือ 6

ดังนั้นข้อนี้เราต้องหา

จำนวนสองจำนวนที่บวกกันได้ ได้ 5

และคูณกันได้ 6  

ถ้าเราคิดเล่นๆจะเห็นว่า

3+2=5

3*2=6

ดั้งนั้นจาก 

\(\sqrt{a+2\sqrt{b}}=\sqrt{x}+\sqrt{y}\) 

มันก็คือ

\(\sqrt{5+2\sqrt{6}}=\sqrt{3}+\sqrt{2}\) 


ตัวอย่างที่ 2 จงหาค่าของ \(\sqrt{9-2\sqrt{14}}\)

วิธีทำ จะเห็นว่าโจทย์ที่เข้าให้มาอยู่ในฟอร์มของ \(\sqrt{a-2\sqrt{b}}\) 

ซึ่ง a=9  และ b=14

ต้องหาจำนวนสองจำนวนที่

บวกกันได้ 9

คูณกันได้ 14

ลองคิดเล่นๆดู

7+2=9

7*2=14

ดังนั้นข้อนี้

\(\sqrt{9-2\sqrt{14}}=\sqrt{7}-\sqrt{2}\)

เป็นอย่างไรบ้างครับตัวอย่างสองข้อ ง่ายน่ะ แต่บางทีก็มีสับขาหลอกกันบ้างนิดหนึ่งมาดูข้อต่อไปดีกว่าว่า เขาสับขาหลอกกันอย่างไร


ตัวอย่างที่ 3  จงหาค่าของ \(\sqrt{84+18\sqrt{3}}\)

จะเห็นว่าโจทย์ที่เขาให้มานี้เป็นรูทซ้อนรูทเหมือนกัน แต่ไม่อยู่ในฟอร์มที่รู้จักคือ

\(\sqrt{a\pm2\sqrt{b}}\) 

เพราะฉนั้นเราต้องเปลี่ยนเขาให้อยู่ในฟอร์มที่เรารู้จักคือ ทำให้มีเลข 2  หน้ารูทให้ได้นะ

มาดูกันเลย

\(\sqrt{84+18\sqrt{3}}\)

\(=\sqrt{84+9*2\sqrt{3}}\)          18=9*2

\(=\sqrt{84+2\sqrt{81*3}}\)        อย่างลืมนะ      \( 9=\sqrt{81}\)

\(=\sqrt{84+2\sqrt{243}}\)

ต่อไปก็หาว่าอะไรเอ่ยบวกกันได้ 84

คูณกันได้ 243

ลองคิดเล่นๆดู

จะเห็น

81+3=84

81*3=243

ดังนั้น 

\(\sqrt{84+2\sqrt{243}}=\sqrt{81}+\sqrt{3}=9+\sqrt{3}\)   \(\quad\)       อันนี้เป็นข้อสอบ o-net ปี 59 นะจะเห็นว่าไม่ยากเลย ง่ายๆ แต่ต้องอ่านถ้าอ่านดีๆน่าจะทำคะแนนได้เยอะ


ตัวอย่างที่ 4 ค่าของ   \(\sqrt{5+\sqrt{24}} -\sqrt{18} + \sqrt{12}\)  \(\quad\)     มีค่าอยู่ในช่วงใด

1. (2.2 , 2.3)       

2. (2.3 ,2.4)             

3. (2.4 , 2.5)   

4. (2.5,2.6)   

5.(2.6,2.7)

วิธีทำ ข้อนี้เป็น o-net ปี 58  

ทำเหมือนเดิม ทำให้อยู่ตามฟอร์มข้างต้นที่ผมได้อธิบายไว้แล้ว

\(\sqrt{5+\sqrt{24}} -\sqrt{18} + \sqrt{12}\)

\(=\sqrt{5+2\sqrt{6}}-3\sqrt{2}+2\sqrt{3}\)

\(=\sqrt{3}+\sqrt{2}-3\sqrt{2}+2\sqrt{3}\)

\(=3\sqrt{3}-2\sqrt{2}\)

\(=3(1.732)-2(1.414)\)

\(=2.368\)  

ข้อนี้เราจำเป็นต้องจำให้ได้ว่า

\(\sqrt{3}\)    มีค่าประมาณคือ 1.732

\(\sqrt{2}\)     มีค่าประมาณคือ 1.414

ตอบ ตัวเลือกที่ 2 (2.3 ,2.4)

 

ติดต่อเรา wisanu.kkung@gmail.com