เมื่อวานลองไปค้นหาข้อมูลเกี่ยวกับข้อสอบ o-net เก่าๆดูปรากฎว่าไปเจอการหาค่าจำนวนที่ติดรูทที่อยู่ในรูปแบบ
\(\sqrt{a\pm2\sqrt{b}}\) บางคนเรียกพวกนี้ว่า รูทซ้อนรูท หรือบางคนเรียกว่า รากซ้อนราก ซึ่งวันนี้ผมจะยกตัวอย่างการหาคำตอบของไอ้พวกนี้ให้ดู ไม่ยากแต่ออกสอบ o-net ทุกปีนะ อย่างไรก็อ่านศึกษาไว้ ไม่เสียหลาย
อีกอันหนึ่งที่ผมเขียนไว้เกี่ยวกับการหาค่าพวก รูทซ้อนรูทแบบซ้อนกันยาวๆ ใครสนใจก็อ่านต่อได้ที่ลิงค์นี้ต่อครับ การแก้สมการรูทซ้อนรูทยาวๆ
ผมจะสรุปวิธีการหาคำตอบให้เลยนะครับ ส่วนใครอยากรู้วิธีการว่ามาจากไหนก็ลองพิสูจน์เองไม่ยาก แต่ถ้าทำไม่ได้ก็ลองเสิร์ทหากันเอาเองในกูเกินก็น่าจะมีครับ เรามาดูกันเลย
ถ้ามีใครให้เราหาคำตอบของ ไอ้พวกรูทซึ่งอยู่ในรูปแบบ
\[\sqrt{a\pm2\sqrt{b}}\]
คำตอบของมันจะได้คือ
\[\sqrt{a+2\sqrt{b}}=\sqrt{x}+\sqrt{y}\]
เมื่อ \(x+y=a \quad and \quad xy=b\)
\[\sqrt{a-2\sqrt{b}}=\sqrt{x}-\sqrt{y}\]
เมื่อ \(x+y=a , xy=b , \quad x>y \)
บางคนดูสูตรอาจจะงงๆ เรามาดูตัวอย่างประกอบกันครับ
ตัวอย่างที่1 จงหาคำตอบของ \(\sqrt{5+2\sqrt{6}}\)
วิธีทำ จะเห็นว่าโจทย์ที่เข้าให้มาอยู่ในฟอร์มของ \(\sqrt{a+2\sqrt{b}}\)
ซึ่ง จะเห็นว่า a คือ 5 และ b คือ 6
ดังนั้นข้อนี้เราต้องหา
จำนวนสองจำนวนที่บวกกันได้ ได้ 5
และคูณกันได้ 6
ถ้าเราคิดเล่นๆจะเห็นว่า
3+2=5
3*2=6
ดั้งนั้นจาก
\(\sqrt{a+2\sqrt{b}}=\sqrt{x}+\sqrt{y}\)
มันก็คือ
\(\sqrt{5+2\sqrt{6}}=\sqrt{3}+\sqrt{2}\)
ตัวอย่างที่ 2 จงหาค่าของ \(\sqrt{9-2\sqrt{14}}\)
วิธีทำ จะเห็นว่าโจทย์ที่เข้าให้มาอยู่ในฟอร์มของ \(\sqrt{a-2\sqrt{b}}\)
ซึ่ง a=9 และ b=14
ต้องหาจำนวนสองจำนวนที่
บวกกันได้ 9
คูณกันได้ 14
ลองคิดเล่นๆดู
7+2=9
7*2=14
ดังนั้นข้อนี้
\(\sqrt{9-2\sqrt{14}}=\sqrt{7}-\sqrt{2}\)
เป็นอย่างไรบ้างครับตัวอย่างสองข้อ ง่ายน่ะ แต่บางทีก็มีสับขาหลอกกันบ้างนิดหนึ่งมาดูข้อต่อไปดีกว่าว่า เขาสับขาหลอกกันอย่างไร
ตัวอย่างที่ 3 จงหาค่าของ \(\sqrt{84+18\sqrt{3}}\)
จะเห็นว่าโจทย์ที่เขาให้มานี้เป็นรูทซ้อนรูทเหมือนกัน แต่ไม่อยู่ในฟอร์มที่รู้จักคือ
\(\sqrt{a\pm2\sqrt{b}}\)
เพราะฉนั้นเราต้องเปลี่ยนเขาให้อยู่ในฟอร์มที่เรารู้จักคือ ทำให้มีเลข 2 หน้ารูทให้ได้นะ
มาดูกันเลย
\(\sqrt{84+18\sqrt{3}}\)
\(=\sqrt{84+9*2\sqrt{3}}\) 18=9*2
\(=\sqrt{84+2\sqrt{81*3}}\) อย่างลืมนะ \( 9=\sqrt{81}\)
\(=\sqrt{84+2\sqrt{243}}\)
ต่อไปก็หาว่าอะไรเอ่ยบวกกันได้ 84
คูณกันได้ 243
ลองคิดเล่นๆดู
จะเห็น
81+3=84
81*3=243
ดังนั้น
\(\sqrt{84+2\sqrt{243}}=\sqrt{81}+\sqrt{3}=9+\sqrt{3}\) \(\quad\) อันนี้เป็นข้อสอบ o-net ปี 59 นะจะเห็นว่าไม่ยากเลย ง่ายๆ แต่ต้องอ่านถ้าอ่านดีๆน่าจะทำคะแนนได้เยอะ
ตัวอย่างที่ 4 ค่าของ \(\sqrt{5+\sqrt{24}} -\sqrt{18} + \sqrt{12}\) \(\quad\) มีค่าอยู่ในช่วงใด
1. (2.2 , 2.3)
2. (2.3 ,2.4)
3. (2.4 , 2.5)
4. (2.5,2.6)
5.(2.6,2.7)
วิธีทำ ข้อนี้เป็น o-net ปี 58
ทำเหมือนเดิม ทำให้อยู่ตามฟอร์มข้างต้นที่ผมได้อธิบายไว้แล้ว
\(\sqrt{5+\sqrt{24}} -\sqrt{18} + \sqrt{12}\)
\(=\sqrt{5+2\sqrt{6}}-3\sqrt{2}+2\sqrt{3}\)
\(=\sqrt{3}+\sqrt{2}-3\sqrt{2}+2\sqrt{3}\)
\(=3\sqrt{3}-2\sqrt{2}\)
\(=3(1.732)-2(1.414)\)
\(=2.368\)
ข้อนี้เราจำเป็นต้องจำให้ได้ว่า
\(\sqrt{3}\) มีค่าประมาณคือ 1.732
\(\sqrt{2}\) มีค่าประมาณคือ 1.414
ตอบ ตัวเลือกที่ 2 (2.3 ,2.4)