ลอการิทึมธรรมชาติตั้งชื่อได้สวยงามน่าเรียนมาก หลายคนอาจจะสงสัยว่ามันเป็นอย่างไรมันต่างกันกับ
ลอการิทึมธรรมดาอย่างไร
บอกเลยว่าต่างกันตรงที่ฐานมันคับ คือว่า ลอการิทึมธรรมชาติเป็นลอการิทึมที่มีฐานเป็น e โดยเจ้า e ตัวนี้เป็นจำนวนอตรรกยะมีค่าประมาณ 2.7182818 ฉนั้นลอการิทึมฐานธรรมชาติจึงเขียนแทนด้วย
\( \log_{e}x\) แต่เพื่อให้มันมีความแตกต่างจากล็อกทั่วไปหรือความไม่มีอะไรทำของนักคณิตศาสตร์อันนี้ก็ไม่รู้ จึงตั้งชื่อใหม่ให้มันอีกครั้งคือ \(\log_{e}x ให้เขียนแทนด้วย \ln x \) นั่นก็คือ เราจะได้ว่า
\( \ln x = \log_{e}x \) ใช้ความรู้การเปลี่ยนฐานมาช่วยก็จะได้
\( \ln x =\frac{\log x}{\log e} \) และ \( \log e \ มีค่าประมาณ \ 0.4343 \ ดังนั้นจึงได้\)
\( \ln x =\frac{\log x}{0.4343} \)
เพียงแค่นี้ก็เพียงพอที่เราจะแก้สมการที่มีลักษณะที่เกี่ยวข้องกับลอการิทึมธรรมชาติได้แล้ว ต่อไปผมว่าเรามาดูตัวอย่างการทำแบบฝึกหัดที่เกี่ยวกับลอการิทึมธรรมชาติกันดีกว่า นำสมบัติของลอการิทึมมาช่วยในการแก้สมการเหมือนเดิมคับ ไปดูกันเลยคับ
1.จงหาค่า \( \ln e \)
วิธีทำ เนื่องจาก \( \ln x = \log_{e}x \) ดังนั้นจึงได้ว่า
\( \ln e = \log_{e}e \)
\( \ln e= \frac{\log e}{\log e }\)
\(\ln e = 1\)
2. จงหาค่า \( \ln 3 + \ln 2 - \ln 6 \)
วิธีทำ ข้อนี้่ก่อนที่จะทำสมบัติที่เกี่ยวกับ \( \log นำมาใช้กับ \ln \) ได้หมดทุกข้อเลยน่ะ ดังนั้นเราจึงได้ว่า
\( \ln 3 + \ln 2 - \ln 6 =\ln(3\times 2) -\ln 6\)
\(=\ln 6 -\ln 6\)
\(=0 \)
ดังนั้น \( \ln 3 + \ln 2 - \ln 6 =0\)
3. \(\ln x =10 \)
วิธีทำ \(\ln x =10 \)
เนื่องจาก \( \ln x =\log_{e}x=\frac{\log x}{\log e}\) จึงได้ว่า
\(\frac{\log x}{\log e}=10\)
\(\log x=10\log e\) ตัด \( \log ทิ้งจะได้ \)
\(\log x=\log e^{10}\) ตัด \( \log ทิ้งจะได้ \)
\(x=e^{10}\)
4.\(e^{2x}-3e^{x}+2=0\)
วิธีทำ \(e^{2x}-3e^{x}+2=0\)
วิธีการทำข้อนี้ผมแนะนำให้ใช้วิธีการแทนค่าด้วยตัวแปรเพื่อลดความยุ่งเหยิงเพื่อให้มองดูง่ายขึ้น คือ ให้ \(A=e^{x}\) จะได้ว่า \(A^{2}=(e^{x})^{2}=e^{2x}\) แทนค่าลงไปในโจทย์ก็จะได้
\(A^{2}-3A+2=0\) ต่อไปใช้วิธีการแยกตัวประกอบมาช่วยในการแก้สมการจะได้
\( (A-2)(A-1)=0\) จึงได้ว่า
\( (A-2)=0 \ หรือ \ (A-1)=0\) จะได้
\(A=2 \ หรือ \ A=1\)
เราไม่ได้ต้องการหาค่า A ถูกต้องไหม แต่เราต้องการหาค่า x ฉนั้นเราก็แทนค่า A กลับ จากที่ตอนแรกเราให้ \(A=e^{x}\) แทนค่ากลับจะได้
\(e^{x}=2 \ หรือ \ e^{x}=1\) ต่อไปหาค่า x คับ ก็ take log ลงไปคับจะได้
\(\log e^{x}=\log 2 \ หรือ \ \log e^{x}=\log 1 \) เวลา take log ต้อง take ท้้งสองฝั่งของสมการน่ะ
ต่อไปแก้สมการคับผมจะทำให้ดูทีละส่วนน่ะ
ส่วนแรกคือ
\(\log e^{x}=\log 2 \)
\(x \log e =\log 2 \)
\(x=\frac{\log 2}{\log e }\) เปิดตารางลอกคับ ซึ่งจะได้ว่า log=0.3010 และ loge=0.4343 แทนค่าไปเลยก็จะได้
\(x=\frac{0.3010}{0.4343}\)
ส่วนที่สองคิดเองน่ะ
ตัวอย่างที่ 2 จงหาค่าลอการิทึมต่อไปนี้
1) \(\ln e\)
วิธีทำ สิ่งการทำโจทย์เกี่ยวกับลอการิทึมธรรมชาติหรือล็อกฐาน e ก็คือนิยามเบื้องต้นของ ล็อกฐาน e นั่นเองซึ่งก็คือ
\(\ln e=log_{e}x=\frac{logx}{loge}=\frac{logx}{0.4343}\) อย่าลืมนะ \(loge=0.4343\)
มาทำข้อนี้กันต่อเลยครับ ทำตามนิยามข้างบนเลยนะ
\(\ln e=log_{e}e=1\)
2) \(\ln e^{2}\)
วิธีทำ
\(\ln e^{2}=2\ln e=2log_{e}e=2\)
3)\(\ln e^{-3}\)
วิธีทำ
\(\ln e^{-3}=-3\ln e=-3log_{e}e=-3\)
จากข้อที่ 1-3 ถ้ามองดีจะสามารถสรุปเป็นสูตรได้เลยว่า \(\ln e^{n}=n\) นั่นเอง
4) \(\ln\frac{1}{e}=\ln e^{-1}=-1\)
5)\(\ln\frac{1}{e^{2}}=\ln e^{-2}=-2\)
6) \(e^{2\ln3}\)
วิธีทำ ข้อนี้ก็ลองทำดูไม่ยากนะ
\(e^{2\ln 3}=e^{2log_{e}3}=e^{log_{e}3^{2}}=3^{2}=9\)
อย่าลืมนะสูตรล็อกข้อนี้ \(a^{log_{a}x}=x\) ดังนั้น \(e^{log_{e}x}=x\)
เช่นข้อนี้ \(e^{log_{e}3^{2}}=3^{2}=9\) นั่นเอง
7) \(e^{\ln \sqrt{2}}\)
วิธีทำ ข้อนี้กับข้อ 6 ทำเหมือกันเลยครับดูดีนะสามารถสรุปเป็นสูตรไปใช้ได้เลยครับ
\(e^{\ln \sqrt{2}}=e^{log_{e}\sqrt{2}}=\sqrt{2}\)
สรุปเป็นสูตรก็คือ
\(e^{\ln x}=x \) นั่นเอง ตัวอย่างเช่น
\(e^{\ln5}=5\)