ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล(Exponential Function)

ฟังก์ชันนั้นมีอยู่หลายรูปแบบ แต่ละแบบก็มีการตั้งชื่อไม่เหมือนกัน ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลก็เป็นอีกรูป

แบบหนึ่งของฟังก์ชันซึ่งเราจะไปดูว่าฟังก์ชันเอกซ์โพนเนนเชียลนั้นมีรูปแบบอย่างไร ก็ต้องไปดูนิยามของมันครับ ว่านิยามของฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลนั้นเป็นอย่างไร

นิยาม ฟังก์ชันเอ็กซ์โพเนนเชียลคือ ฟังก์ชัน

\(f=\{(x,y)\in R \times R^{+} \mid y=a^{x} ,a>0,a\neq  1\}\)

จากบทนิยามของฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล ฟังก์ชันนี้มีรูปแบบในรูปของเลขยกกำลัง โดยฐานของมันต้องมากกว่า 0 และฐานต้องไม่เป็น 1  ตัวอย่างของฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลเช่น

\(y=10^{x}\)

\(y=\left(\frac{1}{5}\right)^{x}\)

\(y=(\sin 30^{\circ})^{x}\)

\(y=(\sqrt{2})^{x}\)

ตัวอย่างข้างต้นเป็นตัวอย่างของฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลครับ ซึ่งมีมากมายครับ นี่เป็นแค่ส่วนหนี่งเท่านั้นครับ

ต่อไปเราลองมาพิจารณาตัวอย่างต่อไปนี้ครับ

ตัวอย่างที่ 1 จงเขียนกราฟของฟังก์ชัน \(y=3^{x}\)

การที่เราจะเขียนกราฟได้เราต้องกำหนดค่า x ขึ้นมาก่อน แล้วหาค่า y ครับ ดังนี้

ถ้า \(x=-2\) จะได้

จาก \(y=3^{x} \) แทน x ด้วย -2 ได้ว่า

\(y=3^{-2}\)

\(y=\frac{1}{3^{2}}\)

\(y=\frac{1}{9}\)

นั่นคือ ถ้า \(x=-2\) ได้ว่า \(y=\frac{1}{9}\)

ถ้า \(x=-1\) จะได้

จาก  \(y=3^{x} \) แทน x ด้วย -1 ได้ว่า

\(y=3^{-1}\)

\(y=\frac{1}{3^{1}}\)

\(y=\frac{1}{3}\)

นั่นคือ ถ้า \(x=-1\) ได้ว่า \(y=\frac{1}{3}\)

ถ้า \(x=0\) จะได้

จาก  \(y=3^{x} \) แทน x ด้วย 0 ได้ว่า

\(y=3^{0}\)

\(y=1\)

นั่นคือ ถ้า \(x=0\) ได้ว่า \(y=1\)

ถ้า \(x=1\) จะได้

จาก  \(y=3^{x} \) แทน x ด้วย 1 ได้ว่า

\(y=3^{1}\)

\(y=3\)

นั่นคือ ถ้า \(x=1\) ได้ว่า \(y=3\)

ถ้า \(x=2\) จะได้

จาก  \(y=3^{x} \) แทน x ด้วย 2 ได้ว่า

\(y=3^{2}\)

\(y=9\)

นั่นคือ ถ้า \(x=2\) ได้ว่า \(y=9\)

นำค่า x และค่า y ที่ได้มาเขียนลงในตารางเพื่่อเตรียนการพลอตกราฟขึ้นมาครับ

\(x\) \(-2\) \(-1\) \(0\) \(1\) \(2\)
\(y\) \(\frac{1}{9}\) \(\frac{1}{3}\) \(1\) \(3\) \(9\)

จากตารางจะได้คู่อันดับ

\((-2,\frac{1}{9}),(-1,\frac{1}{3}),(0,1),(1,3),(2,9)\)

นำคู่อันดับไปพลอตกราฟครับ ก็จะได้กราฟดังนี้ครับ

เส้นกราฟจะไม่เตะแกน x น่ะครับแต่จะเข้าใกล้แกน x เรื่อยๆ เมื่อค่าของ x ลดลงครับ

ตัวอย่างที่ 2 จงเขียนกราฟของฟังก์ชัน \(y=\left(\frac{1}{4}\right)^{x}\)

การที่เราจะเขียนกราฟได้เราต้องกำหนดค่า x ขึ้นมาก่อน แล้วหาค่า y ครับ ดังนี้

ถ้าให้ \(x=-2\)    จะได้ค่า y คือ

\(y=\left(\frac{1}{4}\right)^{-2}  \)

\(y=\frac{(1)^{-2}}{(4)^{-2}}=4^{2}=16\)

นั้นคือ ถ้าให้ \(x=-2\) ได้ \(y=16\)

ถ้าให้ \(x=-1\) จะได้ค่า y คือ

\(y=\left(\frac{1}{4}\right)^{-1}\)

\(y=\frac{(1)^{-1}}{(4)^{-1}}=4\)

นั่นคือ ถ้าให้ \(x=-1\) จะได้ \(y=4\)

ถ้าให้ \(x=0\) จะได้ค่า y คือ

\(y=\left(\frac{1}{4}\right)^{0}=1\)   จำนวนจริงใดๆ ยกเว้นศูนย์ยกกำลังศูนย์เท่ากับ 1

นั้นคือ ถ้าให้ \(x=0 \) จะได้ \(y=1\)

ถ้าให้ \(x=1\) จะได้ค่า y คือ

\(y=\left(\frac{1}{4}\right)^{1}=\frac{1}{4}\)

นั่นคือ ถ้าให้ \(x=1\) จะได้ \(y=\frac{1}{4}\)

ถ้าให้ \(x=2\) จะได้ค่า y คือ

\(y=\left(\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{1}{16}\)

นั้นคือ ถ้าให้ \(x=2\) จะได้ \(y=\frac{1}{16}\)

จากนั้นนำค่า x และ y ที่ได้มาเขียนลงในตารางคับ จะได้

\(x\) \(-2\) \(-1\) \(0\) \(1\) \(2\)
\(y\) \(16\) \(4\) \(1\) \(\frac{1}{4}\) \(\frac{1}{16}\)

นำคู่อันดับในตารางเป็นพลอตกราฟ ก็จะได้กราฟดังรูปข้างล่างครับ

กราฟจะไม่เตะแกน x น่ะคับ แต่จะเข้าใกล้แกน x  เรื่อยๆคับ

 

จากตัวอย่าง 2 ข้อที่ผมได้ยกตัวอย่างให้ดูนั้น จะเห็นได้ว่า

ตัวอย่างที่ 1 ตารางของค่า x และ y    เมื่อ ค่า x เพิ่มขึ้น ค่า y ก็จะเพิ่มขึ้นตามไปด้วย และเมื่อค่า x ลดลง ค่า y ก็จะลดลงด้วย เรียก ฟังก์ชันในลักษณะนี้ว่า "ฟังก์ชันเพิ่ม"

\(x\) \(-2\) \(-1\) \(0\) \(1\) \(2\)
\(y\) \(\frac{1}{9}\) \(\frac{1}{3}\) \(1\) \(3\) \(9\)

 

ตัวอย่างที่ 2 ตารางของค่า x และ y  เมื่อค่า x เพิ่มขึ้น ค่า y จะลดลง และเมื่อค่า x ลดลง ค่า y จะเพิ่มขึ้น

เรียก ฟังก์ชันในลักษณะนี้ว่า "ฟังก์ชันลด"

\(x\) \(-2\) \(-1\) \(0\) \(1\) \(2\)
\(y\) \(16\) \(4\) \(1\) \(\frac{1}{4}\) \(\frac{1}{16}\)

 

ที่นี้มาดูหลักในการพิจารณาว่าฟังก์ชันเอ็กซ์โพเนนเชียลใด เป็นฟังก์ชันเพิ่ม และ ฟังก์ชันเอ็กซ์ชันโพเนนเชียลใดเป็น ฟังก์ชันลด

ฟังก์ชันเอ็กซ์โพเนนเชียลมีรูปแบบทั่วไปคือ \(y=a^{x}\) ถ้า ค่า \(a>1\)  ฟังก์ชันนั้นเป็น ฟังก์ชันเพิ่ม ตัวอย่างเช่น

\(y=5^{x}\)  \(,a=5\)  ซึ่งค่า a มากกว่า 1 ดังนั้นเป็นฟังก์ชันเพิ่ม

\(y=4^{2x}=(4^{2})^{x}=16^{x} \) \(,a=16\)  ซึ่งค่า a มากกว่า 1 ดังนั้นเป็นฟังก์ชันเพิ่มคับ

แต่ถ้า ค่าของ \( 0<a<1\)  ฟังก์ชันนั้นจะเป็นฟังก์ชันลดคับ  ยกตัวอย่างเช่น

\(y=\left(\frac{1}{2}\right)^{x}\) \(,a=\frac{1}{2}\)  ซึ่ง a มากกว่า 0 แต่น้อยกว่า 1 ดังนั้นฟังชันนี้เป็นฟังก์ชันลดคับ

\(y=3^{-x}=\left(\frac{1}{3}\right)^{x}\) \(,a=\frac{1}{3}\) ซึ่งค่า a มากกว่า 0 แต่น้อยกว่า 1 ดังนั้นฟังก์นี้เป็นฟังก์ชันลดคับ

ตืดตามข้อมูลและเรียนรู้การทำแบบฝึกหัด 1.4 คณิตศาสตร์ ม.5 เพิ่มเติมได้ทีคลิปวิดีโอข้างล่างนี้ได้

ติดต่อเรา wisanu.kkung@gmail.com