การแก้สมการกำลังสองโดยวิธีทำเป็นกำลังสองสมบูรณ์

สำหรับการแก้สมการกำลังสองนั้นมีหลายวิธีแล้วแต่ลัษณะของสมการว่าเป็นอย่างไรตัวอย่างเช่น

ถ้าโจทย์ออกมาเป็นลักษณะนี้

\(x^{2}-81=0\) \(\quad\)  เราก็ใช้ผลต่างกำลังสองมาช่วยในการแก้สมการซึ่งก็จะได้ว่า

\(x^{2}-9^{2}=0\)

\((x-9)(x+9)=0\)

ก็จะได้ว่า

\(x-9=0\) หรือ \(x+9=0\)

\(x=9\)  หรือ \(x=-9\)

แต่ถ้าโจทย์ออกมาเป็นลักษณะนี้

\(9x^{2}-5x=0\)\(\quad\)  จะสังเกตว่าโจทย์ข้อนี้จะคล้ายๆกับข้อข้างบนแตกต่างกันนิดเดียวดูข้อแตกต่างมันให้ออกน่ะคับว่าแตกต่างกันอย่างไร สำหรับข้อนี้เราจะใช้ผลต่างกำลังสองเหมือนข้อข้างบนไม่ได้แล้ว แต่ถ้าสังเกตดีๆข้อนี้จะเห็นว่าสามารถใช้วิธีการดึงตัวร่วมได้ ซึงเราจะเห็นว่า x คือตัวร่วมดังนั้นดึง x ออกมาคับก็จะได้

\(9x^{2}-5x=0\)

\(x(9x-5)=0\)

ก็จะได้

\(x=0\) หรือ \(9x-5=0\)

\(x=0\) หรือ \(x=\frac{5}{9}\) \(\quad\) จะเห็นว่าข้อนี้ใช้วิธีการดึงตัวร่วมมาช่วยในการแก้สมการกำลังสอง

แต่ถ้าโจทย์ออกมาในลัษณะนี้

\(x^{2}+10x+9=0\) \(\quad\) ซึ่งจะเห็นว่าสมการกำลังสองในข้อนี้ใช้ ผลต่างกำลังสองก็ไม่ได้ ดึงตัวร่วมก็ไม่ได้ แต่วิธีที่จะนำมาใช้ในการแก้สมการกำลังสองข้อนี้คือ ใช้การแยกตัวประกอบเข้ามาช่วยซึ่งจะได้ คือ

\(x^{2}+10x+9=0\)

\((x+1)(x+9)=0\)

จะได้

\(x+1=0\)  หรือ \(\quad\)\(x+9=0\)

\(x=-1\)  หรือ\(\quad\) \(x=-9\)

แต่ถ้าโจทย์ออกมาในลักษณะนี้

\(x^{2}-6x-1=0\) \(\quad\) ซึ่ง จะเห็นว่าสมการกำลังสองในข้อนี้ใช้ ผลต่างกำลังสองก็ไม่ได้ ดึงตัวร่วมก็ไม่ได้ แยกตัวประกอบเหมือนข้อข้างบนก็ไม่ได้ วิธีการที่จะแก้สมการกำลังสองในข้อนี้ซึ่งเป็นวิธีที่ผมจะสอนในวันนี้คือ การแก้สมการกำลังสองโดยวิธีทำเป็นกำลังสองสมบูรณ์

\(x^{2}-6x-1=0\)

\((x^{2}-2(x)(3)+3^{2})-(3)^{2}-1=0\)

\((x-3)^{2}-9-1=0\)

\((x-3)^{2}-10=0\)

\((x-3)^{2}-(\sqrt{10})^{2}=0\)

\((x-3-\sqrt{10})(x-3+\sqrt{10})=0\)

จะได้

\(x-3-\sqrt{10}=0\) หรือ\(\quad\) \(x-3+\sqrt{10}=0\)

\(x=3+\sqrt{10}\) หรือ\(\quad\) \(x=3-\sqrt{10}\)

เมื่อได้คำตอบแล้วต่อไปเราก็ตรวจคำตอบ ซึ่งผมจะไม่ทำให้ดู วิธีการที่ผมทำให้ดูข้างต้นนั้นเป็นวิธีการที่เรียกว่าการแก้สมการกำลังสองโดยวิธีทำเป็นกำลังสองสมบูรณ์

อ่านให้เข้าใจน่ะคับ ไม่เข้าใจตรงไหนก็ถามได้น่ะคับ ดูข้อต่อไปเลยดีกว่าคับ

\(1)\\y^{2}+8y+5=0\)

\((y^{2}+2(y)4+4^{2})-(4)^{2}+5=0\)

\((y+4)^{2}-16+5=0\)

\(y+4)^{2}-11=0\)

\(y+4)^{2}-(\sqrt{11})^{2}=0\)

\((y+4-\sqrt{11})(y+4+\sqrt{11})=0\)

จะได้

\(y+4-\sqrt{11}=0\) \(\quad\)หรือ \(\quad\)\(y+4+\sqrt{11}=0\)

\(y=\sqrt{11}-4\) \(\quad\)หรือ\(\quad\) \(y=-4-\sqrt{11}\)

\(2)\\ x^{2}+2x+2=0 \)

\((x^{2}+2(x)1+1^{2})-(1)^{2}+2\)

\((x+1)^{2}-1+2=0\)

\((x+1)^{2}+1=0\)

\((x+1)^{2}=-1\)\(\quad\) ตรงนี้ดูน่ะเอ็กซ์บวกหนึ่งยกกำลังสองแล้วค่าออกมาเป็นลบ ซึ่งเป็นไปไม่ได้จำนวนจริงยกกำลังสองแล้วจะมีค่าเป็นบวกหรือไม่ก็เป็นศูนย์เสมอ ดังนั้นลักษณะอย่างนี้เกิดขึ้นไม่ได้สมการข้อนี้ไม่มีคำตอบ

\( 3)\\ a^{2}+3a-5=0\)

\(a^{2}+2(a)\frac{3}{2}+(\frac{3}{2})^{2})-(\frac{3}{2})^{2}-5=0\)

\((a+\frac{3}{2})^{2}-\frac{9}{4}-5=0\)

\(\big(a+\frac{3}{2}\big)^{2}\frac{-9-20}{4}=0\)

\(\big(a+\frac{3}{2}\big)^{2}-\frac{29}{4}=0\)

\(\big(a+\frac{3}{2}\big)^{2}-\big(\frac{\sqrt{29}}{2}\big)^{2}=0\)

\(\big(a+\frac{3}{2}+\frac{\sqrt{29}}{2}\big)\big(a+\frac{3}{2}-\frac{\sqrt{29}}{2}\big)=0\)

จะได้

\(\big(a+\frac{3}{2}+\frac{\sqrt{29}}{2}\big)=0 \ หรือ \ \big(a+\frac{3}{2}-\frac{\sqrt{29}}{2}\big)=0\)

\(a=-\frac{3}{2}-\frac{\sqrt{29}}{2} \ หรือ \  a=-\frac{3}{2}+\frac{\sqrt{29}}{2}\)

\(4)\\ x^{2}-2\sqrt{3}+3=0\)

\(\big(x^{2}-2(x)\sqrt{3}+(\sqrt{3})^{2}\big)-(\sqrt{3})^{2}+3=0\)

\((x-\sqrt{3})^{2}-3+3=0\)

\((x-\sqrt{3})^{2}=0\)

\((x-\sqrt{3})(x-\sqrt{3})=0\)

จะได้

\((x-\sqrt{3})=0\)

\(x=\sqrt{3}\)

\(5)\\ x^{2}+5x+8=0\)

\(\big(x^{2}+2(x)\frac{5}{2}+(\frac{5}{2})^{2}\big)-(\frac{5}{2})^{2}+8=0\)

\(\big(x+\frac{5}{2}\big)^{2}\frac{-25+32}{4}=0\)

\((x+\frac{5}{2})^{2}+\frac{7}{4}=0\)

\((x+\frac{5}{2})^{2}=-\frac{7}{4}\) \(\quad\)ซึ่งจากตรงนี้เห็นชัดได้เลยว่าสมการข้อนี้ไม่มีคำตอบเพราะจำนวนจริงยกกำลังสองแล้วมีค่ามากกว่าหรือเท่ากับศูนย์เสมอไม่มีทางที่จะได้ค่าเป็นลบ

ไม่มีคำตอบคับข้อนี้

\(6) \\ 3x^{2}-4x-1=0\)

ข้อนี้น่ะคับจากเห็นว่าแยกตัวประกอบไม่ได้เลยฉนั้นผมจะแก้สมการนี้โดยทำเป็นกำลังสองสมบูรณ์น่ะ   ดึง 3 ออกมาก่อน จะได้

\(3(x^{2}-\frac{4}{3}x-\frac{1}{3})=0\)

\(3\left[\left(x^{2}-2(x)\frac{4}{6}+(\frac{4}{6})^{2}\right)-(\frac{4}{6})^{2}-\frac{1}{3}\right]=0\)

\(3\left[(x-\frac{4}{6})^{2}-\frac{16}{36}-\frac{1}{3}\right]=0\)

\(3\left[(x-\frac{4}{6})^{2}\frac{-16-12}{36}\right]=0\)

\(3\left[(x-\frac{4}{6})^{2}-\frac{28}{36}\right]=0\)

\(3\left[(x-\frac{4}{6})^{2}-(\frac{\sqrt{28}}{6})^{2}\right]=0\)

\(3\left[(x-\frac{4}{6})^{2}-(\frac{2\sqrt{7}}{6})^{2}\right]=0\)

\(3\left[(x-\frac{4}{6}-\frac{2\sqrt{7}}{6})(x-\frac{4}{6}+\frac{2\sqrt{7}}{6})\right]=0\)

\((3x-2-\sqrt{7})(x-\frac{4}{6}+\frac{2\sqrt{7}}{6})=0\)

จะได้

\((3x-2-\sqrt{7})=0 \  หรือ \  (x-\frac{4}{6}+\frac{2\sqrt{7}}{6})=0\)

\(x=\frac{\sqrt{7}+2}{3}  \ หรือ \  x=\frac{2-\sqrt{7}}{3}\)

ข้อนี้ยาวมาก พิมพ์ไปแล้วไม่รู้ผิดตรงไหนหรือเปล่า ยังไงใครที่อ่านก็ช่วยกันดูหน่อยน่ะ

ตรวจคำตอบเองน่ะคับไม่ตรวจให้ดูน่ะพยายามทำเอง มีปัญหาตรงไหนถามได้คับ  ข้อต่อไปเป็นวิดีโอแล้วกันคับ

ติดต่อเรา wisanu.kkung@gmail.com