ขึ้นชื่อว่าโจทย์ปัญหาเชื่อว่าหลายๆคนอ่านแล้ว คงไม่ค่อยชอบเท่าไหร่ เพราะว่ามันยากโจทย์มันยาวขี้เกียจ
อ่าน ขี้เกียจคิดตาม อ่านแล้วไม่รู้เรื่องไม่รู้จะเริ่มตรงไหนก่อน ผมก็เหมือนกันตอนเรียนมัธยมต้นก็ไม่ค่อยชอบเหมือนกันเรื่องโจทย์ปัญหา ไม่ใช่ไม่ค่อยชอบสิ ไม่ชอบเลยดีกว่า เพราะว่าต้องมานั้งอ่านโจทย์ อ่านเสร็จแล้ววิเคราะห์โจทย์ สร้างประโยคสัญลักษณ์จากโจทย์ ยุ่งยากเหลือเกิน แต่เด็กๆนักเรียนรู้ไหมหัวใจหลักสำคัญของคณิตศาสตร์มันอยู่ตรงไหน มันอยู่ตรงนี้แหล่ะ ตรงโจทย์ปัญหานี้แหล่ะ ถ้าเราวิเคราะห์แก้โจทย์ปัญหาบ่อยๆ การวิเคราะห์ตรงนี้แหล่ะมันจะค่อยๆฝั่งลึกลงไปในตัวเรา จะทำให้เรานั้น เป็นคนมีเหตุมีผล ทำ
อะไรมักจะคิดวิเคราะห์ถึงเหตุผลและความเป็นไปได้ก่อน คือพูดง่ายๆก่อนจะทำมีการคิดวางแผนก่อน ถ้าเรามีการวางแผนก่อนการทำงานโอกาสที่จะประสบความสำเร็จมันก็มีมากกว่าพวกที่ไม่วางแผนใช่ป่าว ดังนั้นอย่าละเลยตรงนี้ครับ ฝึกไปเรื่อยๆ แล้วมันส่งผลดีต่อเราในภายภาคหน้า อารัมภบทซ่ะยาวเลย เรามาเริ่มกันดีกว่า สำหรับหลักเกณฑ์และวิธีการแก้โจทย์ปัญหาสมการเชิงเส้นสองตัวแปรนั้นมีดังนี้
1.แน่นอนแหล่ะต้องอ่านโจทย์ก่อน ไม่ได้ตลกน่ะต้องอ่านทำความเข้าใจโจทย์ก่อน
2.มาถึงขั้นตอนที่สอง เมื่ออ่านโจทย์เข้าใจขั้นตอนที่สองคือ ขั้นตอนการกำหนดตัวแปร(สำคัญมาก) หลักการกำหนดตัวก็ง่ายๆคับ โจทย์ถามหาอะไร เราก็ให้ตัวที่โจทย์ถามหานั่นแหล่ะเป็นตัวแปร ตัวอย่างเช่น
- โจทย์ถามว่าจงหาจำนวนสองจำนวนนั้น วิธีการกำหนดตัวแปรก็คือ ให้จำนวนแรกแทนด้วยตัวแปร x และจำนวนที่สองแทนด้วยตัวแปร y
- โจทย์ถามว่าจงหานวนเหรืยญบาทและเหรียญสิบบาทว่ามีกี่เหรียญ วิธีการกำหนดตัวแปร ให้มีเหรียญบาทมีจำนวน x เหรียญ และเหรียญสิบบาทมีจำนวน y เหรียญ
นี่คือหลักการง่ายๆในการกำหนดตัวแปรคับ ไม่ยากเลย
3.ตอนนี้เรามีตัวแปรแล้ว ขั้นตอนที่สามก็เป็นการนำตัวแปรที่เรามีอยู่นั้นมากระทำตามเงื่อนไขที่โจทย์บอกมา ตัวอย่างเช่น โจทย์บอกว่าสองเท่าของจำนวนแรกมากกว่าห้าอยู่สาม เราก็จัดการแปลงเงื่อนไขของโจทย์ที่เป็นข้อความนี้ให้เป็นประโยคสัญลักษณ์ สองเท่าของจำนวนแรก ก็คือ ให้เอาสองคูณกับจำนวนแรกก็คือ สองคูณเอ็กซ์(2x) มากกว่าห้าอยู่สาม นั่นก็คือให้เอา สองเอ็กซ์มาลบกับห้าแล้วให้เท่ากับสามนั้นเอง เราจึงได้ประโยคสัญลักษณ์คือ
\(2x-5=3\) ได้เป็นสมการที่หนึ่ง
ต่อไปเราก็ไปดูเงื่อนไขที่สองว่าโจทย์บอกว่ายังไง มักจะมีสองเงื่อนไขน่ะคับ เพราะว่ามีสองตัวแปร ตัวอย่างเช่น โจทย์บอก ครึ่งหนึ่งของจำนวนที่สองรวมกันสิบเป็นสิบสอง ก็แปลงเป็นประโยคสัญลักษณ์เหมือนเดิม คำว่าครึ่งหนึ่งของจำนวนี่สอง ก็คือให้ เศษหนึ่งส่วนสองไปคูณกับจำนวนที่สอง ก็คือ เอาเศษหนึ่งส่วนสองไปคูณวายนั้นเองแล้วบวกกับสิบเท่ากับสิบสอง ก็จะได้ ประโยคสัญลักษณ์คือ
\(\frac{1}{2}y+10=12\) ให้เป็นสมการที่สอง
เมื่อเราได้สมการสองสมการตามเงื่อนไขที่โจทย์บอกมาแล้วเราก็ทำการแก้ระบบสมการเพื่อหาจำนวนสองจำนวนนั้นก็คือหาค่า x กับ y นั่นเองคับ
4.ขั้นตอนสุดท้ายคือขั้นตอนการตรวจคำตอบ ขั้นตอนนี้ก็ไม่ยากแล้วนำคำตอบที่ได้ไปแทนลงสมการ แล้วตรวจสอบดูว่าเป็นจริงหรือไม่ ถ้าเป็นจริงก็เป็นอันว่าจบ คำตอบนั้นใช่ได้ นำมาตอบได้เลย
นี่คือขั้นตอนในการแก้โจทย์ปัญหาสมการเชิงเส้นสองตัวแปร เขียนซะยาวเลย ก็พยายามอ่านทำความเข้าใจน่ะ เดี่ยวจะยกตัวอย่างให้ดู่น่ะคับ
1.ถ้าครึ่งหนึ่งของจำนวนหนึ่งเป็นสามเท่าของอีกจำนวนหนึ่งและสี่เท่าของผลต่างของสองจำนวนนั้นเป็น 50 จงหาจำนวนสองจำนวนนั้น
วิธีทำ การทำข้อนี้ไม่ยากคับ...มาวิเคราะห์โจทย์กันก่อน...ว่าโจทย์ให้หาอะไร...โจทย์บอกว่าให้จำนวนสองจำนวนนั้น...จัดการกำหนดตัวแปรเลยคับ...โจทย์ให้หาอะไร...ให้ตัวนั้นแหล่ะ...ตัวที่โจทย์ให้หาแหล่ะเป็นตัวแปรคับ...กำหนดตัวแปรเลย
ให้จำนวนที่หนึ่งแทนด้วยตัวแปร \(x\)
จำนวนที่สองแทนด้วยตัวแปร \(y\)
ที่นี้มาดูเงื่อนไขหรือข้อความนั้นในโจทย์แปลงข้อความที่เป็นตัวหนังสือให้เป็นประโยคสัญลักษณ์...หรือว่าให้เป็นสมการคับ...โจทย์บอกว่า...ถ้าครึ่งหนึ่งของจำนวนหนึ่งเป็นสามเท่าของอีกจำนวนหนึ่ง แปลงเป็นประโยคสัญลักษณ์ก็จะได้ว่า
\(\frac{1}{2}x=3y\) ครึ่งหนึ่งของจำนวนหนึ่งก็คือให้เอาเศษหนึ่งส่วนสองคูณกับจำนวนๆหนึ่ง คำว่าเป็น...มันก็คือเครืองหมายเท่ากับ...คับ...เป็นสามเท่าของอีกจำนวนหนึ่ง....ก็คือให้เอาสามคูณอีกจำนวนหนึ่งซึ่งก็คือสามคูณวาย...คับ
ที่นี้มาดูเงื่อนไขอีกเงื่อนไขในโจทย์คับ...โจทย์เขาบอกว่า...สี่เท่าของผลต่างของสองจำนวนนั้นเป็น 50 แปลงจากข้อความให้เป็นประโยคสัญลักษณ์คับ...ผลต่างของสองจำนวนคือเอา (x-y) คับ สี่เท่าของผลต่างของจำนวนสองจำนวนก็คือให้เอา 4 คูณกับ (x-y) เป็น 50 ก็คือ \(4(x-y)=50\)
จากโจทย์เรา...ก็จะได้ระบบสมการดังนี้...คับ...
\(\frac{1}{2}x=3y\) ให้เป็นสมการที่ \((1)\)
\(4(x-y)=50\) ให้เป็นสมการที่ \((2)\)
เมื่อได้ระบบสมการแล้ว...ก็แก้ระบบสมการเพื่อหาค่า x และ y ออกมาให้ไดัคับ
เริ่มแก้ระบบสมการแล้วน่ะ...ดูให้ดี...มีชัยไปกว่าครึ่ง...
จากสมการที่ \((1)\) คือ
\(\frac{1}{2}x=3y\) ย้ายสองไปคูณกับสาม...คับ จะได้
\(x=(2)3y\)
\(x=6y\) ให้เป็นสมการที่ \((3)\)
เห็นไหมล่ะ...เราได้ค่า x แล้วคือ x=6y ดังนั้นเราก็นำค่า x ที่เราได้นี้ไปแทนในลงสมการที่ \((2)\)
ต่อไปดูดีๆน่ะ...บรรทัดต่อไปนี้แหล่ะ...คาดว่า...จะไม่เข้าใจหลายคน...เริ่ม
แทน x ด้วย 6y ในสมการที่ \((2)\) (ให้ไปดูที่สมการที่(2)ตรงไหนที่มี x อยู่ให้เปลี่ยนเป็น 6y ให้หมด..คับ)
จากสมการที่(2) คือ \(4(x-y)=50\) แทน x ด้วย 6y จะได้
\(4(6y-y)=50\) หกวายลบวายเท่ากับห้าวาย...ใช่ป่าว
\(4(5y)=50\) สี่คูณห้าวายเท่ากับ ยี่สิบวายใช่ป่าว
\(20y=50\)
\(y=\frac{50}{20}\)
\(y=\frac{5}{2}\) รู้ค่า y แล้ว คือ y มีค่าเท่ากับ เศษห้าส่วนสอง ต่อไปก็หาค่าของ x บ้าง วิธีการหาค่า x ก็คือนำค่า y ซึ่งเรารู้ค่าแล้วว่ามีค่าเท่ากับ เศษห้าส่วนสอง...ไปแทนลงในสมการที่เรามีอยู่คือ อาจจะเป็นสมการที่ (1) ,(2) หรือสมการที่ (3) ก็ได้เลือกมาสักหนึ่งสมการ...ทำเลยน่ะ
แทน y ด้วย \(\frac{5}{2}\) ลงในสมการที่ (3)
จากสมการที่ (3) คือ \(x=6y\) แทนค่า y ลงไป...จะได้
\(x=6\frac{5}{2}\)
\(x=\frac{30}{2}\)
\(x=15\) เสร็จแล้วคับ
หลังจากมี่เราแก้ระบบสมการแล้ว...สรุปได้ว่า
\(x=15\) และ \(y=\frac{5}{2}\)
นั่นคือ...โจทย์ให้หาจำนวนสองจำนวน...จากที่
เราให้จำนวนที่หนึ่งคือ x และจำนวนที่สองคือ y เราจึงได้จำนวนสองจำนวนที่เป็นไปตามเงื่อนไขที่โจทย์กำหนดคือ \( 15\) และ \(\frac{5}{2}\)
ข้อนี้...รู้สึกว่าจะเขียน...ยาวเหลือเกิน...อยากให้ทุกคนอ่านเข้าใจคับ...ไม่รู้จะอ่านรู้เรื่องหรือเปล่า...ข้อต่อไปสาบานได้เลยว่า...จะไม่เขียนยาวเท่าข้อนี้....อ่านแล้วเข้าใจ...หรือว่าไม่เข้าใจอย่างไร...เม้นต์บอกด้วยน่ะ...พี่น้อง...เดี่ยวจะเอาไปปรับปรุง...เด้อ
2.มะลิซื้อส้มโอผลเล็กราคาผลละ 30 บาท และผลใหญ่ราคาผลละ 35 บาท คิดเป็นเงิน 950 บาท เมื่อนำมารวมกันแล้วขายไปผลละ 40 บาท ได้เงิน 1,200 บาท จงหาว่ามะลิซื้อส้มโอแต่ละขนาดมาอย่างละกี่ผล
วิธีทำ ก็ทำตามขั้นตอนที่ผมได้อธิยายไว้น่ะคับ ไม่ยากคับ
กำหนดตัวแปรก่อน วิธีกำหนดตัวแปรโจทย์ถามหาอะไรก็ให้ตัวที่โจทย์ถามหาแหละเป็นตัวแปรคับ ในข้อนี้โจทย์ถามว่ามะลิซื้อส้มโอแต่ละขนาดมาอย่างละกี่ผล ถามหาจำนวนผล เราก็กำหนดว่า
ให้มะลิซื้อส้มโอขนาดเล็กมาจำนวน x ผล
ซื้อส้มโอขนาดใหญ่มาจำนวน y ผล
เมื่อกำหนดตัวแปรแล้วก็ดูเงื่อนไขในโจทย์คับ พยายามเขียนประโยคข้อความให้เป็นประโยคสัญลักษณ์ให้ได้ ในโจทย์เขาบอกว่ามะลิซื้อส้มโอผลเล็กราคาผลละ 30 บาท ซือมาจำนวน x ผล ก็เป็นเงิน 30x บาท ใช่ป่าว
ซื้อส้มโอผลใหญ่ราคาผลละ 35 บาท ซื้อมาจำนวน y ผล ก็เป็นเงิน 35y บาท ใช่ป่าว โจทย์บอกว่าซื้อแล้วคิดเป็นเงิน 950 บาท นั่นก็คือ
\( 30x+35y=950 \)
ต่อไปคับ โจทย์บอกว่าเมื่อนำมารวมกันขายไปผลละ 40 บาท นั่นก็คือนำส้มโอผลเล็กมารวมกับส้มโอผลใหญ่แล้วก็ขายจะได้ประโยคสัญลักษณ์คือ
\(40(x+y)=1200\)
จะเห็นว่าตอนนี้เราได้สมการสองสมการเกิดเป็นระบบสมการขึ้นมา ต่อไปเราก็แก้ระบบสมการนี้เพื่อหาค่าของตัวแปรคับ
จาก
\( 30x+35y=950 \) ตั้งชื่อว่า สมการที่ (1)
\(40(x+y)=1200\) ตั้งชื่อว่า สมการที่ (2) แก้ระบบสมการนี้คับ เราเริ่มแก้ระบบสมการนี้โดยเริ่มที่สมการที่ (2) คับ 40 คูณอยู่ย้ายไปหารเลยคับ...จะได้
\(x+y=\frac{1200}{40}\)
\(x+y=30\) ต่อไปย้าย y ไปอยู่ฝั่งขวาของสมการคับ...จะได้
\(x=30-y\) รู้น่ะทำไมถึงย้าย y มาฝั่งขวาก็เพราะว่าเราจะใช้วิธีการแทนค่าในการแก้ระบบสมการข้อนี้คับ จากบบรรทัดนี้เรารู้ว่า เอ็กซ์มันเท่ากับสามสิบลบวาย(รู้ค่าของเอ็กซ์แล้ว) ต่อไปเราก็
แทนค่า x ด้วย 30-y ในสมการที่(1) จะได้
\(30(30-y)+35y=950\) แก้สมการต่อคับคูณสามสิบเข้าข้างในวงเล็บ
\(900-30y+35y=950\)
\(-30y+35y=950-900\)
\((-30+35)y=50\)
\(5y=50\)
\(y=\frac{50}{5}\)
\(y=10\)
นั่นแสดงว่ามะลิซื้อส้มโอขนาดใหญ่มาจำนวน 10 ผลคับ ต่อไปหาค่าของ x คับ
แทน y ด้วย 10 ในสมการ \(x+y=30 \)(ลืมตั้งชื่อสมการ) จะได้
\(x+10=30\)
\(x=30-10\)
\(x=20\)
นั่นแสดงว่ามะลิซื้อส้มโอขนาดเล็กมาจำนวน 20 ผล
สรุปนิดหนึ่งคับ นั่นคือจะได้ว่า
มะลิซื้อส้มโอขนาดเล็กมาจำนวน 20 ผล
ซื้อส้มโอขนาดใหญ่มาจำนวน 10 ผล
3. ติ๊กสะสมเหรียญชนิด 10 บาท และ 1 บาท รวมกันได้ 200 เหรียญ คิดเป็นเงินรวมกัน 920 บาท อยากทราบว่าติ๊กมีเหรียญแต่ละชนิดอย่างละกี่เหรียญ
วิธีทำ ให้ x คือจำนวนของเหรีญสิบบาท
ให้ y คือจำนวนของเหรียญบาท
โจทย์บอกว่าติ๊กสะสมเหรียญชนิด 10 บาท และ 1 บาท รวมกันได้ 200 เหรียญจึงได้สมการคือ
\(x+y=200\)
ต่อไปเรามีจำนวนเหรียญสิบบาทจำนวน x เหรียญจะคิดเป็นเงิน \(10x\) บาทถูกต้องไหม เช่นมีเหรียญสิบบาท 2 เหรืยญก็จะคิดเป็นเงิน \(2\times 10=20\) บาทครับ
มีเงินเหรียญบาทจำนวน \(y\) เหรียญก็จะคิดเป็นเงิน \(y\)บาทเท่าเดิมจริงไหม
โจทย์บอกว่าคิดเป็นเงินรวมกัน 920 บาทเราจะได้สมการคือ
\(10x+y=920\)
เราจึงได้ระบบสมการดังนี้คือ
\begin{array}{lcl}x+y=200\quad \cdots (1)\\10x+y=920\cdots (2)\end{array}
เริ่มแก้สมการเลยครับ
\begin{array}{lcl}(1)-(2)\rightarrow (x+y)-(10x+y)&=&200-920\\-9x&=&-720\\x&=&80\end{array}
ต่อไปหาค่า \(y\) ครับผมเอาค่า \(x=80\) ไปแทนในสมการที่ \((1)\) เลยครับจะได้
\begin{array}{lcl}x+y&=&20\\80+y&=&200\\y&=&120\end{array}
ดังนั้น
ติ๊กมีเหรียญสิบบาท \(80\) เหรียญ
มีเหรียญบาท \(120\) เหรียญ
4. รัตนามีเงินเก็บอยู่ 120,000 บาท ส่วนหนึ่งนำไปฝากธนาคารเพื่อรับดอกเบีย 2% อีกส่วนหนึ่งนำไปลงทุนเพื่อรับเงินปันผล 4% สิ้นปีมีรายได้รวมกัน 4,000 บาท อยากทราบว่ารัตนานำเงินไปลงทุนแต่ละประเภทเท่าใด
วิธีทำ กำหนดให้รัตนา นำเงินไปฝากธนาคารจำนวน \(x\) บาท
และนำเงินไปลงทุนเพื่อรับปันผลจำนวน \(y\) บาท
รัตนามีเงินเก็บ \(120,000\) บาทดังนั้นเงินที่นำไปฝากธนาคารและเงินที่นำไปลงทุนเพื่อรับปันผลจะรวมกันได้ \(120,000\) บาทจึงได้สมการคือ
\(x+y=120,000\)
ทำต่อนะครับ
เงินฝากธนาคารจำนวน \(x\) บาท จะได้ดอกเบี้ยจำนวน \(0.02x\)บาท
นำเงินไปลงทุนจำนวน \(y\) บาท จะได้รับเงินปันผล \(0.04y\) บาท
สิ้นปีรายได้รวมกัน 4000 บาทนั้นคือจะได้สมการ
\(0.02x+0.04y=4000\)
ดังนั้นเราจะได้ระบบสมการคือ
\begin{array}{lcl}x+y&=&120,000\quad \cdots (1)\\0.02x+0.04y&=&4000\quad\cdots (2)\end{array}
เริ่มแก้ระบบสมการเลยครับ
นำ \(0.02\) คูณเข้าไปใน \((1)\) จะได้
\begin{array}{lcl}0.02x+0.02y&=&0.02\times 120,000\\0.02x+0.02y&=&2400\quad \cdots (3)\\(2)-(3)\rightarrow (0.02x+0.04y)-(0.02x+0.02y)&=&4000-2400\\0.02y&=&1600\\y&=&80,000\end{array}
ต่อไปในค่า \(y=80,000\) ไปแทน่ค่าในสมการที่ \((1)\) จะได้
\begin{array}{lcl}x+y&=&120,000\\x+80,000&=&120,000\\x&=&40,000\end{array}
จึงได้ว่ารัตนานำเงินไปฝากธนาคารจำนวน 40,000 บาท
และนำเงินไปลงทุนเพื่อรับเงินปันผลจำนวน 80,000 บาท
5. ผลบวกของจำนวนสองจำนวนเท่ากับ 20 ผลหารของสองจำนวนนั้นเท่ากับ 9 แล้วข้อใดต่อไปนี้เป็นจริง (o-net 59)
- ผลคูณของสองจำนวนนั้นเป็น 18
- หนึ่งในสองจำนวนนั้นมากกว่า 18
- หนึ่งในสองจำนวนนั้นเป็นจำนวนคี่
- สองจำนวนนั้นต่างกัน 16
วิธีทำ ข้อนี้เป็นข้อสอบ o-net นะครับดูแล้วง่ายกว่าแบบฝึกหัดในหนังสืออีกครับเริ่มทำกันเลยครับ
ให้จำนวนแรกคือ x
ให้จำนวนที่สองคือ y
จากโจทย์บอกว่าผลบวกของสองจำนวนเท่ากับ 20 ผลหารสองจำนวนเท่ากับ 9 จะได้สมการดังนี้
\begin{array}{lcl}x+y&=&20\quad \cdots (1)\\\frac{x}{y}&=&9\quad\cdots (2)\end{array}
นำสมการที่ (2) มาจัดรูปใหม่จะได้สมการใหม่คือ
\(x=9y\quad \cdots (3)\) ให้ชื่อว่าสมการที่ (3)
นำ \(x\) ด้วย \(9y\) ในสมการที่ (1) จะได้
\begin{array}{lcl}x+y&=&20\\9y+y&=&20\\10y&=&20\\y&=&2\end{array}
ต่อไปหาค่า \(x\) ครับ
เนื่องจาก \(x+y=20\) แทน \(y=2\) ลงไปจะได้
\begin{array}{lcl}x+2&=&20\\x&=&18\end{array}
ดังนั้นเราจะได้ว่า
\(x=18\)
\(y=2\)
พอไปดูที่ตัวเลือกจะเห็นว่า \(x\) และ \(y\) ต่างกัน \(18-2=16\) ข้อนี้ตอบตัวเลือกที่ 4 ครับ
6.ป้าชูศรีเลี้ยงหมูและเลี้ยงไก่จำนวนเท่ากัน ป้าชูศรีนับจำนวนขาหมูและขาไก่รวมกันได้ 78 ขา ถามว่าป้าชูศรีเลี้ยงไก่ไว้กี่ตัว (o-net 57)
วิธีทำ ข้อนี้ง่ายครับให้ ป้าชูศรีเลี้ยงหมูและไก่ไว้จำนวนเท่ากันคือ \(x\) ตัว
ดังนั้นจะมีขาหมูนับรวมกันได้ \(4x\) ขา
ขาไก่นับรวมกันได้ \(2x\) ขา
จากโจทย์นับจำนวนขาหมูและขาไก่รวมกันได้ 78 ขา จึงได้สมการเป็น
\(4x+2x=78\) ต่อไปก็แก้สมการเพื่อหาจำนวนหมูและไก่ครับจะได้
\begin{array}{lcl}4x+2x&=&78\\6x&=&78\\x&=&13\end{array}
นั่นคือเลี้ยงไก่และหมูไว้ชนิดละ 13 ตัว