ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน เป็นค่าที่บ่งบอกถึงการกระจายของข้อมูล ถ้าค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานหาออกมาแล้วมี
ค่ามากนั้่นหมายความว่า ข้อมูลชุดนั้นมีการกระจายกันมาก ถ้าเป็นคะแนนสอบของนักเรียนก็บ่งบอกว่านักเรียนได้คะแนนต่างกัน แต่ถ้าส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานหาออกมาแล้วมีค่าน้อย นั้นหมายความว่าข้อมูลชุดนั้นเป็นข้อมูลที่เกาะกลุ่มกันอยู่ เป็นข้อมูลที่มีค่าใกล้เคียงกัน ถ้าเป็นเป็นคะแนนสอบของนักเรียนก็แสดงว่านักเรียนได้คะแนนไล่เลี่ยกันไม่ห่างกันมาก
ผมจะยกตัวอย่างการหาค่าส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน ให้ดูเป็นตัวอย่างน่ะครับ ไม่ยากครับ
ตัวอย่างที่ 1 คะแนนสอบวิชาคณิตศาสตร์นักเรียนจำนวน 10 คน ของโรงเรียนแห่งหนึ่ง เป็นดังนี้
28 , 29, 30 , 32 , 34 , 36 , 37 , 38 , 38 , 38 จงหาค่าส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของข้อมูลชุดนี้
วิธีทำ
เราใช้สัญลักษณ์แทนคำว่าส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน คือ S.D. (Standard Deviation)
สูตรในการหาค่าของส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานคือ
\( S.D.=\) \( \sqrt \frac{ \sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^{2}}{n} \)
จากสูตรในการหา ค่า S.D. เราจะเห็น สัญลักษณ์ \(\bar{x}\) ซึ่งก็คือ ค่าเฉลี่ยเลขคณิตนั่้นเอง ดังนั้นก่อนที่เราจะหาค่า S.D. ได้ เราต้องหาค่าเฉลี่ยให้ได้ก่อน
\( n\) คือจำนวนของข้อมูลว่ามีข้อมูลทั้งหมดกี่ตัว ในโจทย์ข้อนี้ มีข้อมูล 10 ตัว ดังนั้น \(n=10\)
\(x_i\) คือ ข้อมูลแต่ละตัว ซึ่งมี 10 ตัว นั่นคือ มี \(x_1 \) ถึง \(x_10\)
จากโจทย์จะได้ว่า
\( x_1 =28\)
\(x_2=29\)
\(x_3=30\)
\(x_4=32\)
\(x_5=34\)
\(x_6=36\)
\(x_7=37\)
\(x_8=38\)
\(x_9=38\)
\(x_{10}=38\)
ข้างบนที่ผมเขียนน่ะครับ เป็นการเขียนอธิบายสูตรน่ะครับ เผื่อบางคนอ่านแล้วไม่เข้าใจ ก็เลยเขียนอธิบาย ซะยืดยาวเลย สำหรับคนที่เข้าใจแล้ว ก็ผ่านได้ครับ แต่ผมชอบเขียนอธิบายให้อ่านยาวๆ ผมชอบเขียนยาว ๆ ซึ่งบางคนอ่านแล้วอาจจะงง ก็ผ่านไปเลย น่ะครับ ไม่ต้องอ่าน เดี๋ยวงง 555
เอาละมาสู่ขั้นตอนในการหาค่า S.D. กันเลยดีกว่า
ขั้นแรก ต้องหาค่า \(\bar{x}\) ก่อน
\(\bar{x} = \) \(\frac{28+29+30+32+34+36+37+38+38+38}{10}\)
\(\bar{x}=34\)
จานั้นนำข้อมูลที่โจทย์ให้มา ไปเขียนลงในตาราง ผมขอเรียกตารางนี้ว่าตารางส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานแล้วกันครับ
\(x_i\)(ข้อมูลแต่ละตัว) | \(x_i - \bar{x}\)(นำข้อมูลแต่ละตัวลบออกด้วยค่าเฉลี่ย) | \((x_i - \bar{x})^{2}\)(นำข้อมูลในสดมภ์ที่สองมายกกำลังสอง) |
\(28\) | \(28-34=-6\) | \((-6)^{2}=36\) |
\(29\) | \(29-34=-5\) | \((-5)^{2}=25\) |
\(30\) | \(30-34=-4\) | \((-4)^{2}=16\) |
\(32\) | \(32-34=-2\) | \((-2)^{2}=4\) |
\(34\) | \(34-34=0\) | \((0)^{2}=0\) |
\(36\) | \(36-34=2\) | \((2)^{2}=4\) |
\(37\) | \(37-34=3\) | \((3)^{2}=9\) |
\(38\) | \(38-34=4\) | \((4)^{2}=16\) |
\(38\) | \(38-34=4\) | \((4)^{2}=16\) |
\(38\) | \(38-34=4\) | \((4)^{2}=16\) |
รวม | \(\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^{2}=142\) |
นำค่าในตารางส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน ไปแทนใน สูตรการหาค่าส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน นี้
\( S.D.=\) \( \sqrt \frac{ \sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^{2}}{n} \)
โดย \(\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^{2}=142\)
และ
\(n=10\)
จะได้
\( S.D.=\) \( \sqrt \frac{142}{10} \)
\(S.D.=\sqrt{14.2}\)
\(S.D. \approx 3.8 \)
9.ให้ \(x_{1},x_{2},x_{3},\cdots ,x_{5}\) เป็นข้อมูลชุดหนึ่งที่มีค่าเฉลี่ยเลขคณิตเท่ากับ 6 ถ้า \(\displaystyle\sum_{i=1}^{5}(x_{i}-4)^{2}=30\) จงหาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของข้อมูลชุดนี้
วิธีทำ เราก็หาคำตอบจากสิ่งที่โจทย์กำหนดให้นั่นแหละครับ โจทย์บอกว่าค่าเฉลี่ยเท่ากับกับ 6 นั่นก็คือ
\(\bar{X}=\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{5}x_{i}}{5}=6\quad\cdots (1)\)
จากสมการที่\((1)\) จะได้ว่า
\(\displaystyle\sum_{i=1}^{5}x_{i}=30\quad\cdots (2)\)
และโจทย์ยังให้อันนี้เรามาอีกก็คือ \(\displaystyle\sum_{i=1}^{5}(x_{i}-4)^{2}=30\) เราเอาอันนี้มากระจายจะได้
\begin{array}{lcl}\displaystyle\sum_{i=1}^{5}(x_{i}-4)^{2}&=&30\\\displaystyle\sum_{i=1}^{5}(x_{i}^{2}-8x_{i}+16)&=&30\\\displaystyle\sum_{i=1}^{5}x_{i}^{2}-8\displaystyle\sum_{i=1}^{5}x_{i}+\displaystyle\sum_{i=1}^{5}16&=&30\\\displaystyle\sum_{i=1}^{5}x_{i}^{2}-8(30)+(16)(5)&=&30\\\displaystyle\sum_{i=1}^{5}x_{i}^{2}&=&190\end{array}
สิ่งที่เราหามาข้างบนก็เพื่อนำมาแทนค่าในสูตรของส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานก็คือสูตรนี้
\[S.D.=\sqrt{\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{5}x_{i}^{2}}{N}-(\bar{X})^{2}}\]
ทำต่อเลยคับจะได้
\begin{array}{lcl}S.D.&=&\sqrt{\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{5}x_{i}^{2}}{N}-(\bar{X})^{2}}\\&=&\sqrt{\frac{190}{5}-6^{2}}\\&=&\sqrt{2}\quad\underline{Ans}\end{array}
10. ถ้า \(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{10}\) เป็นข้อมูลชุดหนึ่งซึ่ง \(\displaystyle\sum_{i=1}^{10}(x_{i}-M)^{2}\) มีค่าน้อยที่สุดเท่ากับ \(M^{2}\) เมื่อ \(M=15\) จงหาค่าของ \(\displaystyle\sum_{i=1}^{10}(2x_{i}+5)\) และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของข้อมูลชุดนี้
วิธีทำ สิ่งที่เราต้องรู้ข้อนี้ก็คือสมบัติของค่าเฉลี่ยเลขคณิตก็คือ ถ้า \(\displaystyle\sum_{i=1}^{10}(x_{i}-M)^{2}\) มีค่าน้อยที่สุดแล้ว เราจะได้ว่า \(M\) คือค่าเฉลี่ยเลขคณิต นั่นก็คือ
\[\bar{X}=\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{10}x_{i}}{10}=M=15\quad\cdot (1)\]
จากสมการที่ \((1)\) เราจึงได้ว่า
\[\displaystyle\sum_{i=1}^{10}x_{i}=10\times 15=150\quad\cdots (2)\]
ต่อไปโจทย์บอกว่า \(\displaystyle\sum_{i=1}^{10}(x_{i}-M)^{2}\) มีค่าเท่ากับ \(M^{2}\) ดังนั้นจะได้สมการนี้ออกมาคือ
\begin{array}{lcl}\displaystyle\sum_{i=1}^{10}(x_{i}-M)^{2}&=&M^{2}\\\displaystyle\sum_{i=1}^{10}(x_{i}-15)^{2}&=&15^{2}\\\displaystyle\sum_{i=1}^{10}(x_{i}^{2}-30x_{i}+225)&=&225\\\displaystyle\sum_{i=1}^{10}x_{i}^{2}-30\displaystyle\sum_{i=1}^{10}x_{i}+\displaystyle\sum_{i=1}^{10}225&=&225\\\displaystyle\sum_{i=1}^{10}x_{i}^{2}-30(150)+(225)(10)&=&225\\\displaystyle\sum_{i=1}^{10}x_{i}^{2}&=&2475\end{array}
ตอนนี้เราได้ค่าต่างๆที่คำนวณมา ดังต่อไปนี้
\(\displaystyle\sum_{i=1}^{10}x_{i}=150\)
\(\displaystyle\sum_{i=1}^{10}x_{i}^{2}=2475\)
\(\bar{X}=15\)
เรานำค่าที่เราได้มานี้มาคำนวณหาคำตอบกันเลยครับจะได้ดังนี้
\begin{array}{lcl}\displaystyle\sum_{i=1}^{10}(2x_{i}+5)&=&2\displaystyle\sum_{i=1}^{10}x_{i}+\displaystyle\sum_{i=1}^{10}5\\&=&2(150)+(5)(10)\\&=&300+50\\&=&350\quad\underline{Ans}\end{array}
ต่อไปหา ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน
\begin{array}{lcl}S.D.&=&\sqrt{\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{10}x_{i}^{2}}{N}-(\bar{X})^{2}}\\&=&\sqrt{\frac{2475}{10}-15^{2}}\\&=&\sqrt{22.5}\quad\underline{Ans}\end{array}
11. ค่าเฉลี่ยเลขคณิตและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของข้อมูล \(x_{1},x_{2},x_{3}\) เป็น 8 และ 3 ตามลำดับ ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของข้อมูล \(x_{4},x_{5},x_{6}\) เป็น 10 และ \(\displaystyle\sum_{i=1}^{6}x_{i}^{2}=567\) จงหาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของข้อมูล \(x_{4},x_{5},x_{6}\)
วิธีทำ ข้อนี้เริ่มทำที่โจทย์บอกว่า ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของข้อมูล \(x_{1},x_{2},x_{3}\) มีค่าเท่ากับ 3 เราจะได้ดังนี้คือ
\begin{array}{lcl}S.D.&=&\sqrt{\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{3}x_{i}^{2}}{N}-(\bar{X})^{2}}\\3&=&\sqrt{\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{3}x_{i}^{2}}{3}-(8)^{2}}\\9&=&\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{3}x_{i}^{2}}{3}-64\\\displaystyle\sum_{i=1}^{3}x_{i}^{2}&=&219\quad\cdots (1)\end{array}
และโจทย์บอกอีกว่า \(\displaystyle\sum_{i=1}^{6}x_{i}^{2}=567\) จะได้ว่า
\begin{array}{lcl}\displaystyle\sum_{i=4}^{6}x_{i}^{2}&=&\displaystyle\sum_{i=1}^{6}x_{i}^{2}-\displaystyle\sum_{i=1}^{3}x_{i}^{2}\\&=&567-219\\&=&384\quad\cdots (2)\end{array}
จากสมการที่ \((1),(2)\) เราสามารถนำไปหาคำตอบได้แล้ว ก็คือ โจทย์ให้หาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของข้อมูล \(x_{4},x_{5},x_{6}\) จะได้ว่า
\begin{array}{lcl}S.D.&=&\sqrt{\frac{\displaystyle\sum_{i=4}^{6}x_{i}^{2}}{N}-(\bar{X})^{2}}\\&=&\sqrt{\frac{384}{3}-10^{2}}\\&=&\sqrt{28}\quad\underline{Ans}\end{array}
12.ในการสอบสัมภาษณ์นักเรียน 3 คน ปรากฎว่าค่าเฉลี่ยเลขคณิตของคะแนนเท่ากับ 53 มัธยฐานเท่ากับ 50 และพิสัยเท่ากับ 21 ส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ยในการสอบครั้งนี้เป็นเท่าใด
วิธีทำ กำหนดให้ \(x_{1},x_{2},x_{3}\) เป็นข้อมูลที่เรียงจากน้อยไปหามาก ดังนั้นจึงได้ว่า \(x_{2}=50\)
และโจทย์บอกว่าค่าเฉลี่ยเลขคณิตเท่ากับ 53 จึงได้ว่า
\begin{array}{lcl}\frac{x_{1}+50+x_{3}}{3}&=&53\\x_{1}+x_{3}&=&159-50\\x_{1}+x_{3}&=&109\quad\cdots (1)\end{array}
และโจทย์ยังบอกอีกว่าพิสัยเท่ากับ 21 จึงได้ว่า
\(x_{3}-x_{1}=21\quad\cdots (2)\)
ต่อไปเพื่อจะหาค่าของ \(x_{1}\) กับ \(x_{3}\) ต้องเอาสมการที่ \((1)+(2)\) จะได้ว่า
\begin{array}{lcl}(x_{1}+x_{3})+(x_{3}-x_{1})&=&109+21\\x_{3}&=&65\end{array}
และแทนค่า \(x_{3}=65\) ในสมการที่ \((2)\) จะได้ว่า \(x_{1}=44\)
ต่อไปเราต้องหาค่าพวกนี้ก่อน \(|x_{i}-\bar{X}|\) จะได้ว่า
\(|44-53|=9\)
\(|50-53|=3\)
\(|65-53|=12\)
ดังนั้น \(\displaystyle\sum_{i=1}^{3}|x_{i}-\bar{X}|=9+3+12=24\)
ต่อไปหาค่าส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ยเลยคับผม
\begin{array}{lcl}M.D.&=&\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{3}|x_{i}-\bar{X}|}{N}\\&=&\frac{9+3+12}{3}\\&=&8\quad\underline{Ans}\end{array}
13. ข้อมูลชุดหนึ่งมี N ตัว มี 1 อยู่ \(X\%\) นอกนั้นเป็น \(0\) ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของข้อมูลชุดนี้เท่ากับเท่าใด
วิธีทำ การทำข้อนี้เดี๋ยวผมจะยกตัวอย่างให้ดูแบบนี้นะคับ สมมติผมมีข้อมูลแบบนี้คือ
\(1,1,1,1,0,0,0,0,0,0\)
จากข้อมูลที่กำหนดให้จะเห็นว่ามีข้อมูล 1 อยู่ \(40\%\) และได้ว่า
\(\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{10}x_{i}^{2}}{N}=\frac{4}{10}=\frac{40}{100}\)
\(\bar{X}=\frac{4}{10}=\frac{40}{100}\)
ดังนั้นเราจะได้ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของข้อมูลนี้เท่ากับ
\begin{array}{lcl}S.D.&=&\sqrt{\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{10}x_{i}^{2}}{N}-(\bar{X})^{2}}\\&=&\sqrt{\frac{40}{100}-(\frac{40}{100})^{2}}\end{array}
พอเห็นตัวอย่างข้างบนนี้หลายคนน่าจะมองเห็นวิธีการตอบของข้อนี้แล้วนะคับ ว่าจะตอบอย่างไร
ดังนั้นข้อนี้เขาบอกว่ามีข้อมูล 1 อยู่ \(X\%\) จึงทำให้ได้ว่าส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของข้อมูลชุดนี้เท่ากับ
\begin{array}{lcl}S.D.&=&\sqrt{\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{N}x_{i}^{2}}{N}-(\bar{X})^{2}}\\&=&\sqrt{\frac{X}{100}-(\frac{X}{100})^{2}}\end{array}
เขียนมาซะยืดยาว เป็นยังไงบ้างครับ อ่านแล้วเข้าใจกันหรือเปล่า ครับ ไม่เข่้าใจยังไงก็คอมเมนต์ได้น่ะครับ เดียวจะพยายามปรับวิธีการเขียนให้ดีขึ้นกว่าเดิมครับ
สามารถทำโจทย์ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเพิ่มเติมตามลิงค์นี้ครับ
การหาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานความแปรปรวนเมื่ออ่านข้อมูลผิด
โจทย์ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน ความแปรปรวน ส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ย
ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของข้อมูลที่ไม่แจกแจงความถี่
ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของตัวอย่างที่แจกแจงความถี่
ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของประชากรที่แจกแจงความถี่
แบบฝึกหัดเกี่ยวกับการหาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน
แบบฝึกหัดการหาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานและความแปรปรวนเมื่อมีการอ่านข้อมูลผิดพลาด
แบบฝึกหัดเรื่องส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน