การทำโจทย์เกี่ยวกับความน่าจะเป็น

วันนี้เดี๋ยวจะพาทำโจทย์เกี่ยวกับเรื่องความน่าจะเป็นแบบ step by step เลยครับ เรืองความน่าจะเป็นม.3 เนื

ยะจะเป็นพื้นฐานของความน่าจะเป็นในตอนมอปลายซึ่งเราจะต้องศึกษากันอีกที ในตอนมอปลาย ดังนั้น พลาดไม่ได้เราต้องเข้าใจพื้นฐานมันก่อน ว่ามาจากไหนยังไง ครับ เดี๋ยววันนี้จะพาทำโจทย์และอธิบายที่มาที่ไปของคำตอบว่ามาจากไหนครับ

ตัวอย่างที่ 1 ทอดลูกเต๋า 1 ลูก  1 ครั้ง จงหาความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ต่อไปนี้

1) ออกแต้ม 3

2) ออกแต้มเป็นจำนวนคู่

3) ออกแต้มเป็นจำนวนเฉพาะ

4) ออกแต้มเป็นจำนวนที่ไม่น้อยกว่า 3

เรามาดูวิธีการทำกันดีกว่าครับ ก่อนอื่นเราต้องรู้ก่อนว่าทอดลูกเต๋า 1 ลูก 1 ครั้ง ผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมด(sample space)จากการทดลองสุ่มนี้เป็นอะไรได้บ้างครับ แน่นอนครับทอดลูกเต๋า 1 ลูก 1 ครั้ง ผลลัพธ์ที่เป็นไปได้คือลูกเต๋าอาจจะหงายแต้มเป็น    1,2,3,4,5,6  ซึ่งมี 6 แบบครับ

เมือเราหา sample space ได้แล้วต่อไปเราก็จะสามารถหาความน่าจะเป็นของเหตุการณ์(event)ที่เราสนใจได้

ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ใดๆ หาได้จากสูตร

\(P(E)=\frac{n(E)}{n(S)}\)

เมื่อ P(E) แทนด้วย ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ใดๆที่เราสนใจ

n(E) แทนด้วย  จำนวนผลลัพธ์ของเหตุการณ์ที่เราสนใจ

n(S) แทนด้วย จำนนวนผลลัพธ์ทั้งหมดที่อาจจะเกิดขึ้นได้

มาทำข้อ หนึ่งก่อนดีกว่า

1) ออกแต้ม 3

ก็คือหาความน่าจะเป็นที่ลูกเต่าจะออกแต้ม 3  พูดง่ายๆก็คือโอกาสที่ลูกเต๋าจะออกแต้มเป็น3 นั้นเองครับ

หา  n(E) ก่อน ก็คือหาว่าทอดลูกเต๋า 1 ลูก 1 ครั้ง ออกแต้ม 3 มันมีกี่เหตุการณ์ ก็มีแค่  1  เหตุการณ์ใช่ป่าว

ดังนั้น n(E) ในข้อนี้มีค่าเป็น 1

ต่อไปหา  n(S) ครับ ก็คือหาจำนวนผลลัพธ์ทั้งหมดที่อาจจะเกิดขึ้นจากการโยนลูกเต๋า 1 ลูก 1 ครั้งครับ

ดังนั้น n(S)=6  ก็คือมี 6 เหตุการณ์ครับ

ความน่าจะเป็นที่ลูกเต๋าจะออกแต้ม 3 คือ

\(P(E)=\frac{1}{6}\)

ข้อนี้ตอบ 1/6 ครับ หรือ ความน่าจะเป็นหรือโอกาสที่ลูกเต่าจะออกแต้ม 3 คือ 1/6  ครับ

2) ออกแต้มเป็นจำนวนคู่

หา n(E) ก่อนเหมือนเดิมครับ เหตุการณ์ที่เราสนใจคือ ออกแต้มเป็นจำนวนคู่ ออกแต้มเป็นจำนวนคู่ คือ 2,4,6 ซื่งมี 3 เหตุการณ์

ดังนั้น n(E)=3

n(S) คือจำนวนผลลัพธ์ทั้งหมดที่อาจจะเกิดขึ้นจากการทอดลูกเต๋า 1 ลูก 1 ครั้ง ครับ

ดังนั้น n(S) = 6  ครับ มี 6 เหตุการณ์คับ

ความน่าจะเป็นที่จะออกแต้มเป็นจำนวนคู่คือ

\(P(E)=\frac{n(E)}{n(S)}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}\)

ข้อนี้ตอบ 1/2 ครับ  หรือ ความน่าจะเป็นหรือโอกาสที่ลูกเต่าจะออกแต้มคู่ คือ 1/2 ครับ

3) ออกแต้มเป็นจำนวนเฉพาะ

หา n(E) ก่อนเหมือนเดิมครับ เหตุการณ์ที่เราสนใจคือ ออกแต้มเป็นจำนวนเฉพาะ คือ 2,3,5 ซึ่งมี 3 เหตุการณ์ครับ

ดังนั้น n(E)= 3

n(S) คือจำนวนผลลัพธ์ทั้งหมดที่อาจจะเกิดขึ้นจากการทอดลูกเต๋า 1 ลูก 1 ครั้ง ครับ

ดังนั้น n(S) = 6  ครับ มี 6 เหตุการณ์คับ

ความน่าจะเป็นที่จะออกแต้มเป็นจำนวนเฉพาะคือ

\(P(E)=\frac{n(E)}{n(S)}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}\)

ข้อนี้ตอบ 1/2 ครับ  หรือ ความน่าจะเป็นหรือโอกาสที่ลูกเต่าจะออกแต้มเป็นจำนวนเฉพาะ คือ 1/2 ครับ

4) ออกแต้มเป็นจำนวนที่ไม่น้อยกว่า 3

หา n(E) ก่อนเหมือนเดิมครับ เหตุการณ์ที่เราสนใจคือ ออกแต้มเป็นจำนวนที่ไม่น้อยกว่า 3 คือ 3,4,5,6 ซึ่งมี 4เหตุการณ์ครับ

ดังนั้น n(E)= 4

n(S) คือจำนวนผลลัพธ์ทั้งหมดที่อาจจะเกิดขึ้นจากการทอดลูกเต๋า 1 ลูก 1 ครั้ง ครับ

ดังนั้น n(S) = 6  ครับ มี 6 เหตุการณ์คับ

\(P(E)=\frac{n(E)}{n(S)}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}\)

ข้อนี้ตอบ 2/3 ครับ  หรือ ความน่าจะเป็นหรือโอกาสที่ลูกเต่าจะออกแต้มเป็นจำนวนที่ไม่น้อยกว่า 3  คือ 2/3 ครับ

 

ตัวอย่างที่ 2    กบสุ่มหยิบลูกกวาด 2 เม็ดพร้อมกันจากถุงใบหนึ่งที่มีลูกกวาดสีแดง 4 เม็ด สีดำ  2 เม็ด จงหาความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ต่อไปนี้

1) หยิบได้ลูกกวาดสีแดง 1 เม็ด และสีดำ 1 เม็ด

2) หยิบได้ลูกกวาดสีแดงทั้งสองเม็ด

3) หยิบได้ลูกกวาดสีดำทั้งสองเม็ด

4) หยิบได้ลูกกวาดที่ไม่ใช่สีแดงและสีดำ

ก่อนอื่น  เราต้องหาผลลัพธ์ทั้งหมดที่อาจจะเกิดขึ้นได้จากการทดลองสุ่มหรือ n(S) ให้ได้ก่อนครับ

สุ่มหยิบลูกกวาด 2 เม็ดพร้อมกันจากถุงใบหนึ่งที่มีลูกกวาด สีแดง 4 เม็ด สีดำ 2 เม็ด ผลลัพธ์ทั้งหมดที่อาจจะเกิดขึ้นได้จากทดลองสุ่มนี้คือ........

แทน   r1 คือลูกกวาด สีแดง เม็ดที่ 1

r2 คือลูกกวาด สีแดง เม็ดที่ 2

r3 คือลูกกวาด สีแดง เม็ดที่ 3

r4 คือลูกกวาดสีแดง เม็ดที่ 4

b1 คือลูกกวาดสีดำ  เม็ดที่ 1

b2 คือลูกกวาดที่ดำ  เม็ดที่ 2

ดังนั้น สุ่มหยิบลูกกวาดออกมา 2 เม็ดพร้อมกัน ผลลัพธ์ทั้งหมดที่อาจจะเกิดขึ้นได้คือ

( r1, r2 ) ,( r1 , r3 ) , (r1,r4) , (r1,b1) , (r1,b2) , ( r2 , r3 ) ,(r2,r4) , (r2,b1) ,(r2,b2) , (r3 ,r4) ,

(r3 , b1 ) , ( r3 , b2 ) , (r4 , b1 ) , (r4 ,b2) , (b1 , b2 )

มีทัังหมด 15 แบบ  ดังนั้น  n(S)= 15

เมื่อได้ n(S) แล้วต่อไปก็หาความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ต่างๆ

1) หยิบได้ลูกกวาดสีแดง 1 เม็ด และสีดำ 1 เม็ด

เหตุการที่หยิบได้ลูกกวาดสีแดง 1 เม็ด และ สีดำ 1 เม็ด คือ ( r1,b1) , (r1,b2) , (r2,b1) , (r2,b2) , (r3,b1) , (r3,b2) , (r4,b1) , (r4,b2)

ซึ่งมี  8 แบบ หรือ 8 เหตุการณ์    ดังนั้น  n(E)= 8

ดังนั้นความน่าจะเป็นที่จะหยิบได้ลูกกวาดสีแดง 1 เม็ด และ สีดำ 1 เม็ด  คือ

\(P(E)=\frac{n(E)}{n(S)}=\frac{8}{15}\)

ตอบ 8/15  คับ

2) หยิบได้ลูกกวาดสีแดงทั้งสองเม็ด

เหตุการณ์ที่หยิบได้ลูกกวาดสีแดงทั้งสองเม็ด ( r1,r2) , (r1,r3) , (r1,r4) , (r2,r3) , (r2,r4) , (r3,r4)

ซึ่งมี 6 แบบ หรือ 6 เหตุการณ์ ดังนั้น n(E)= 6

ดังนั้นความน่าจะเป็นที่จะหยิบได้ลูกกวาดสีแดงทั้งสองเม็ด คือ

\(P(E)=\frac{n(E)}{n(S)}=\frac{6}{15}=\frac{2}{5}\)

ตอบ 2/5

ตัวอย่างที่ 3   กล่องใบหนึ่งมีสลากเท่าๆกัน  9 แผ่น เขียนเลข 1-9 หมายเลขละ 1 ใบ ความน่าจะเป็นที่จะได้สลากเป็นเลขคู่ตรงกับข้อใด

1. \(\frac{1}{2}\)       2.\(\frac{1}{9}\)    3.\(\frac{3}{4}\)    4.\(\frac{4}{9}\)

วิธีทำ  กล่องใบนี้มีสลาก 9 ใบ เวลาเราหยิบสลากออกมาเนียะเราอาจจะได้ใบไหนก็ได้ในจำนวน 9 ใบนี้   ก็คือจะได้ใบที่เขียนหมายเลข 1 ไว้หรือไม่ก็ 2  3   4   5  6  7  8  9

นั่นคือแซมเปิลสเปซ  \(S=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}\)   ดังนั้น  \(n(S)=9\)

แต่เหตุการณ์ที่เราสนใจคือ หยิบแล้วได้เลขคู่นั่นคือ  \(E=\{2,4,6,8\}\)   ดังนั้น  \(n(E)=4\)

 

ข้อนี้  คำตอบคือ  \(P(E)=\frac{n(E)}{n(S)}=\frac{4}{9}\)

ตัวอย่างที่ 4  ถ้านาย ก บอกนาย  ข  ว่าเกิดเดือนเมษายน เป็นวันที่เกิดนั้น  3 หารลงตัว ความน่าจะเป็นที่นาย ข จะทายวันเกิดของนาย ก ถูกต้องเป็นเท่าใด

วิธีทำ  นาย ก เกิดเดือนเมษายนซึ่งมีทั้งหมด  30 วัน ดังนั้่น

แซมเปิลสเปซ   \(S=\{1,2,3,4,...,30\}\quad n(S)=30\)    

แต่วันที่นาย ก เกิดนั้น  3 หารลงตัวดังนั้นเหตุการณ์ที่เราสนใจคือ

\(E=\{3,9,12,15,18,21,24,27,30\}\quad n(E)=9\)

ดังนั้นความน่าจะเป็นที่นาย ข จะทายวันวันเกิดนาย ก ถูกคือ \(P(E)=\frac{9}{30}\)

ตัวอย่างทีี่ 5  แดง ดำ เขียว ยืนเข้าแถวเป็นแนวตรง จงหาความน่าจะเป็นที่ดำและเขียวยืนแยกกัน 

วิธีทำ  ลองเอา แดง  ดำ  เขียว มายืนเรียงเป็นแนวเส้นตรงดูครับ จะไม่สอนแบบใช้สูตรนะครับเอาแบบตาสี ตาสา ก็ทำได้นะครับ แบบใช้จิตสำนึกทั่วๆไปครับ จะได้

(แดง ดำ เขียว)  , (แดง  เขียว  ดำ) , (เขียว แดง ดำ) ,  (เขียว  ดำ แดง) , (  ดำ แดง  เขียว),

( ดำ เขียว แดง   )

จะเห็นว่า \(n(S)=6\)

และจะเห็นว่าเหตุการณ์ที่เราสนใจคือ ดำและเขียว ยืนแยกกันคือ

(เขียว แดง ดำ) , (  ดำ แดง เขียว)  นั่นคือ \(n(E)=2\)

คำตอบข้อนี้ ความน่าจะเป็นที่ดำและเขียว ยืนแยกกันคือ \(P(E)=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}\)

ติดต่อเรา wisanu.kkung@gmail.com