เมทริกซ์เอกลักษณ์หรือภาษาอังกฤษคือ Identity Matrix คืออะไรมาดูตัวอย่างกันเลยครับ ถ้าไปอ่านนิยามก่อนอาจจะยากอ่านแล้วไม่เข้าใจ มาดูตัวอย่างของเมทริก์เอกลักษณ์กันเลย เมทริกซ์เอกลักษณ์เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์คือ \(I_{n}\)  เช่น

\begin{array}{lcl}I_{1}&=&\begin{bmatrix}1\end{bmatrix}\end{array} 

\(I_{1}\) เป็นเมทริกซ์เอกลักษณ์ที่มีมิติ \(1\times 1\)

\begin{array}{lcl}I_{2}&=&\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}\end{array}

\(I_{2}\) เป็นเมทริกซ์เอกลักษณ์ที่มีติ \(2\times 2\)

\begin{array}{lcl}I_{3}&=&\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}\end{array}

\(I_{3}\) เป็นเมทริกซ์เอกลักษณ์ที่มีติ \(3\times 3\)

\begin{array}{lcl}I_{4}&=&\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}\end{array}

\(I_{4}\) เป็นเมทริกซ์เอกลักษณ์ที่มีติ \(4\times 4\)

เห็นไหมครับนี้คือเมทริกซ์เอกลักษณ์ คงไม่ต้องอธิบายเป็นคำพูดนะว่ามันหมายถึงอะไรดูเอาแล้วกันว่าสมาชิกของมันเป็นอย่างไร 1 จะตั้งอยู่ตรงไหนและ 0 จะตั้งอยู่ตรงไหน นี่แหละครับเขาเรียกว่าเมทริกซ์เอกลักษณ์สมาชิกในแนวเฉียงเป็นเลข 1 เสมอนอกนั้นเป็นเลข 0 ครับ

ข้อควรระวังถ้าเป็นเฉียงแบบนี้ไม่ใช่เมทริกซ์เอกลักษณ์นะครับ

\begin{bmatrix}0&0&1\\0&1&0\\1&0&0\end{bmatrix}

ต่อไปมาลองทำแบบฝึกหัดเกี่ยวกับเมทริกซ์เอกลักษณ์ดีกว่าครับ

1. กำหนดให้เมทริกซ์ \(A\)

\begin{array}{lcl}A&=&\begin{bmatrix}1&1&2\\-1&1&3\end{bmatrix}\end{array}

จงหาเมทริกซ์ \(X\) ที่ทำให้ข้อความนี้เป็นจริง

1) \(AA^{t}=2I_{2}+X\)

วิธีทำ 

ก่อนที่จะหาคำตอบ หา \(A^{t}\) กับ \(I_{2}\) ก่อนครับ

\begin{array}{lcl}A&=&\begin{bmatrix}1&1&2\\-1&1&3\end{bmatrix}\\A^{t}&=&\begin{bmatrix}1&-1\\1&1\\2&3\end{bmatrix}\end{array}

และ

\begin{array}{lcl}I_{2}&=&\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}\end{array}

เริ่มหา \(X\) เลยครับ  จาก

\begin{array}AA^{t}&=&2I_{2}+X\\X&=&AA^{t}-2I_{2}\\X&=&\begin{bmatrix}1&1&2\\-1&1&3\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&-1\\1&1\\2&3\end{bmatrix}-2\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}\\X&=&\begin{bmatrix}(1\times 1)+(1\times 1)+(2\times 2)&(1\times -1)+(1\times 1)+(2\times 3)\\(-1\times 1)+(1\times 1)+(3\times 2)&(-1\times -1)+(1\times 1)+(3\times 3)\end{bmatrix}-2\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}\\X&=&\begin{bmatrix}6&6\\6&11\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}2&0\\0&2\end{bmatrix}\\X&=&\begin{bmatrix}6-2&6-0\\6-0&11-2\end{bmatrix}\\X&=&\begin{bmatrix}4&6\\6&9\end{bmatrix}\quad\underline{Ans}\end{array}

2) \(2A^{t}A=X-I_{3}\)

วิธีทำ

เหมือนเดิมก่อนจะหาคำตอบหา \(2A^{t}A\) และ \(I_{3}\) ก่อนครับ

\begin{array}{lcl}2A^{t}A&=&2\begin{bmatrix}1&-1\\1&1\\2&3\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&1&2\\-1&1&3\end{bmatrix}\\&=&2\begin{bmatrix}(1\times 1)+(-1\times -1)&(1\times 1)+(-1\times 1)&(1\times 2)+(-1\times 3)\\(1\times 1)+(1\times -1)&(1\times 1)+(1\times 1)&(1\times 2)+(1\times 3)\\(2\times 1)+(3\times -1)&(2\times 1)+(3\times 1)&(2\times 2)+(3\times 3)\end{bmatrix}\\&=&2\begin{bmatrix}2&0&-1\\0&2&5\\-1&5&13\end{bmatrix}\\&=&\begin{bmatrix}4&0&-2\\0&4&10\\-2&10&26\end{bmatrix}\end{array}

และ

\begin{array}{lcl}I_{3}&=&\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}\end{array}

เริ่มหา \(X\) เลยครับ  จาก

\begin{array}{lcl}2A^{t}A&=&X-I_{3}\\X&=&2A^{t}A+I_{3}\\X&=&\begin{bmatrix}4&0&-2\\0&4&10\\-2&10&26\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}\\&=&\begin{bmatrix}5&0&-2\\0&5&10\\-2&10&27\end{bmatrix}\quad \underline{Ans}\end{array}