เส้นตั้งฉากนี้เราจะได้เรียนในชั้น ม.4 ในบทที่มีชื่อว่า เรขาคณิตวิเคราะห์ ครับ ซึ่งเรื่องเส้นตั้งฉากก็ไม่ยากครับส่วนใหญ่โจทย์ก็จะกำหนดความชันของเส้นตรงมาให้ แล้วก็ให้ตรวจสอบว่าเส้นตรงในแต่ละคู่นั้นเป็นเส้นตรงที่ตั้งฉากกันหรือไม่ซึ่งการตรวจสอบเส้นตั้งฉากก็สามารถตรวจสอบได้ตามทฤษฎีต่อไปนี้ครับ
ทฤษฎีบท เส้นตรงสองเส้นที่ไม่ขนานกับแกน Y จะตั้งฉากกัน ก็ต่อเมื่อ ผลคูณของความชันของเส้นตรงทั้งสองเท่ากับ -1
อธิบายทฤษฏีบทนี้แบบง่ายก็คือสมมติมีเส้นตรงมาให้สองเส้นอยากรู้ว่าเส้นตรงสองเส้นนั้นตั้งฉากกันไหม ก็เอาความชันของเส้นตรงสองเส้นนั้นคูณกันดู ถ้าคูณกันแล้วผลลัพท์ออกมาเป็น -1 ก็แสดงว่าเส้นตรงคู่นั้นเป็นเส้นตรงที่ตั้งฉากกันครับ
มาดูตัวอย่างแบบฝึกหัดกันเลย
แบบฝึกหัด
1. เส้นตรง \(l\) มีความชันเท่ากับ \(\frac{3}{4}\) เส้นตรงที่ตั้งฉากกับเส้นตรง \(l\) จะมีความชันเป็นเท่าไร
วิธีทำ ข้อนี้ง่ายมากครับ เส้นตรงที่จะตั้งฉากกับเส้นตรง \(l\) ต้องมีความชันเท่ากับ \(-\frac{4}{3}\) เพราะว่าถ้าเราลองเอาความชันของเส้นตรงทั้งสองเส้นมาคูณกันดูจะได้ -1 ก็คือ \(\frac{3}{4}\times (-\frac{4}{3})=-1\)
2. จงหาความชันของเส้นตรงซึ่งตั้งฉากกับเส้นตรงซึ่งผ่านจุด (3,4) และ (-3,-5)
วิธีทำ อันดับแรกต้องหาความชันของเส้นตรงซึ่งผ่านจุด (3,4) และ (-3,-5) เพื่อความไม่งงผมให้ m เป็นความชันของเส้นตรงที่ผ่านจุด (3,4) และ (-3,-5) ดังนั้น
\begin{array}{lcl}m&=&\frac{-5-4}{-3-3}\\&=&\frac{-9}{-6}\\&=&\frac{3}{2}\end{array}
ดังนั้นความชันของเส้นตรงซึ่งตั้งฉากกับเส้นตรงซึ่งผ่านจุด (3,4) และ (-3,-5) มีค่าเท่ากับ \(-\frac{2}{3}\) เพราะว่า \(\frac{3}{2}\times -\frac{2}{3}=-1\)
3. ถ้าจุด P มีพิกัดเป็น \((a,b)\) และจุด Q มีพิกัดเป็น \((-b,a)\) โดยที่ \(a^{2}+b^{2}\neq 0\) จงแสดงว่าส่วนของเส้นตรง \(OP\) ตั้งฉากกับส่วนของเส้นตรง \(OQ\) เมื่อ \(O\) เป็นจุดกำเนิด
วิธีทำ อย่าลืมนะ จุด \(O\) เป็นจุดกำเนิด แสดงว่าจุด \(O\) มีพิกัดเป็น \((0,0)\)
กำหนดให้ \(m_{1}\) เป็นความชันของส่วนของเส้นตรง \(OP\) ดังนั้น
\begin{array}{lcl}m_{1}&=&\frac{b-0}{a-0}\\&=&\frac{b}{a}\end{array}
กำหนดให้ \(m_{2}\) เป็นความชันของส่วนของเส้นตรง \(OQ\) ดังนั้น
\begin{array}{lcl}m_{2}&=&\frac{a-0}{-b-0}\\&=&-\frac{a}{b}\end{array}
จะเห็นว่าความชันขอส่วนของ \(OP\) เมื่อนำมาคูณกับ ความชันของส่วนของเส้นตรง \(OQ\) มีค่าเท่ากับ -1 ก็คือดังนี้
\begin{array}{lcl}m_{1}\times m_{2}&=&\frac{b}{a}\times -\frac{a}{b}\\&=&-1\end{array}
ดังนั้นส่วนของเส้นตรง \(OP\) ตั้งฉากกับส่วนของเส้นตรง \(OQ\)
4. เส้นตรงซึ่งผ่านจุด \((k,7)\) และ \((-3,-2)\) ตั้งฉากกับเส้นตรงซึ่งผ่านจุด \((3,2)\) และ \((1,-4)\) จงหาค่า \(k\)
วิธีทำ ข้อนี้หาความความชันของเส้นตรงแต่ละเส้นก่อนครับ
กำหนดให้ \(m_{1}\) คือความชันของเส้นตรงที่ผ่านจุด \((k,7)\) และ \((-3,-2)\) ดั้งนั้น
\begin{array}{lcl}m_{1}&=&\frac{-2-7}{-3-k}\\&=&\frac{-9}{-3-k}\end{array}
กำหนดให้ \(m_{2}\) คือความชันของเส้นตรงที่ผ่านจุด \((3,2)\) และ \((1,-4)\) ดังนั้น
\begin{array}{lcl}m_{2}&=&\frac{-4-2}{1-3}\\&=&\frac{-6}{-2}\\&=&3\end{array}
จากโจทย์เขาบอกว่าเส้นตรงมันตั้งฉากกันแสดงว่า ความชันของเส้นตรงสองเส้นนี้คูณกันแล้วได้เท่ากับ -1 ดังนี้
\begin{array}{lcl}m_{1}\times m_{2}&=&-1\\\frac{-9}{-3-k}\times 3&=&-1\\\frac{-9\times 3}{-3-k}&=&-1\\\frac{-27}{-3-k}&=&-1\\-3-k&=&\frac{-27}{-1}\\-3-k&=&27\\-k&=&27+3\\-k&=&30\\k&=&-30\end{array}
ได้แล้วครับ ค่า \(k\) ค่อยๆอ่านเรื่องนี้ไม่ยาก
สนับสนุนเว็บไซต์