พิจารณาตารางแสดงความสันพันธ์ต่อไปนี้
ครอบครัวๆหนึ่งมีลูกชาย \(2\) คน ในการไปโรงเรียนแต่ละวันทั้งสองคนจะได้รับเงินไปโรงเรียนจากแม่ไม่เท่ากัน ดังตารางต่อไปนี้
จำนวนเงินที่น้องชายได้รับ(x) | จำนวนเงินที่พี่ชายได้รับ(y) |
\(5\) | \(10\) |
\(6\) | \(12\) |
\(7\) | \(14\) |
\(8\) | \(16\) |
\(9\) | \(18\) |
\(10\) | \(20\) |
\(11\) | \(22\) |
\(12\) | \(24\) |
ให้ \(x\) แทนจำนวนเงินที่น้องชายได้รับ
\(y\) แทนจำนวนเงินที่พี่ชายได้รับ
จะเห็นว่า \(x\) และ \(y\) มีความสัมพันธ์กันตามสมการคือ \(y=2x\)
ความสัมพันธ์ของปริมาณ \(x\) และ ปริมาณ \(y\) ในตารางเป็นตัวอย่างของการแปรผันตรงครับ นั่นคือ จากตารางจะเรียกว่า \(y\) แปรผันตรงกับ \(x\)
ตัวอย่างที่ผมยกให้ดูข้างต้นเป็นตัวอย่างของปริมาณสองปริมาณที่แปรผันตรงกัน ครับ ซึ่งในชีวิตประจำวันถ้าสังเกตดีๆน่ะครับ ปริมาณต่างๆ จะมีความแปรผันตรงกันครับ ลองสังเกตดูดีๆครับ ต่อไป ไปดูนิยามของ การแปรผันตรงกันครับ
นิยาม
ให้ \(y\) และ \(x\) เป็นปริมาณใดๆ
\(y\) แปรผันตรงกับ \(x\) ก็ต่อเมื่อ สามารถเขียน \(y\) กับ \(x\) ให้อยู่ในรูปความสัมพันธ์ของสมการ \(y=kx\) เมื่อ \(k\)คือ ค่าคงตัวใดๆ และ\(k\neq 0 \)
เรียก \( y=kx\) ว่าสมการแสดงการแปรผัน
เรียก \(k\) ว่า ค่าคงตัวของการแปรผัน
\( y\) แปรผันตรงกับ \(x\) เขียนแทนด้วย \(y\propto x \)
เรามาดูตัวอย่างเกี่ยวกับ การแปรผันตรงน่ะครับ ย้ำนะครับ นิยามของการแปรผันตรงสำคัญมากน่ะครับ
ย้ำอีกครั้งแล้วกัน \(y\) แปรผันตรงกับ \(x\) ก็ต่อเมื่อ \(y=kx\) น่ะครับ นิยามนี้พูดง่ายๆก็คือ
ถ้า เรารู้ว่าหรือถ้าโจทย์บอกว่า \(y\)แปรผันตรงกับ \(x\) เราสาสามารถเขียนสมการแสดงความสัมพันธ์ \(x\)กับ \(y\) ได้เลยคือ \(y=kx\) เมือ \(k\)คือค่าคงตัวใดๆ ค่าคงตัวคือจำนวนตัวเลขน่ะครับ คือ อาจจะเป็นจำนวนเต็มก็ได้ เศษส่วนก็ได้ ทศนิยมก็ได้ครับ
ถ้าเรารู้ว่าหรือถ้าโจทย์บอกว่า \(u\)แปรผันตรงกับ \(v\) เราสามารถเขียนสมการแสดงความสัมพันธ์\(u\)กับ \(v\)ได้เลยคือ \(u=kv\) เมื่อ \(k\)คือค่าคงตัวใดๆ
ตอบคำถามต่อไปนี้
1.จากสิ่งที่กำหนดให้ต่อไปนี้ จงเขียนสมการแสดงการแปรผัน
1) \(y\propto x\) (อ่านว่า y แปรผันตรงกับ x) และ \(4\) เป็นค่าคงตัวของการแปรผัน(k=4 นั่นเอง)
ตอบ \(y\propto x\) (อ่านว่า y แปรผันตรงกับ x) นั่นคือเราจะได้ว่า \(y=kx\) และ\(k=4\) แทนค่า \(k\)ลงไปครับจะได้
\(y=4x\) ง่ายมากข้อนี้
2) \(u \propto v\) และ \(\frac{1}{3} \) เป็นค่าคงตัวของการแปรผัน
ตอบ \(u \propto v\) จะได้ว่า \(u=kv \) และ \(k=\frac{1}{3}\) จะได้ว่า
\(u=\frac{1}{3}v\)
3) \(s \propto t\) และ \(0.7\) เป็นค่าคงตัวของการแปรผัน
ตอบ \(s=0.7t\)
4)\(s \propto t^{3}\) และ \(2\) เป็นค่าคงตัวของการแปรผัน
ตอบ \(s=2t^{3}\)
5) \(t\propto \sqrt{l^{2}}\) และ \(\frac{1}{3}\) เป็นค่าคงตัวของการแปรผัน
ตอบ \(t=\frac{1}{3}\sqrt{l^{2}}\)
6) \(H\propto I^{2}\) และ \(-3\) เป็นค่าคงตัวของการแปรผัน
ตอบ \(H=-3I^{2}\)
2.จากสมการแสดงการแปรผันที่กำหนดให้ต่อไปนี้ จงบอกความเกี่ยวข้องระหว่างตัวแปรและค่าคงตัวของการแปรผัน
1)\(x=\frac{2}{3}y\)
ตอบ จากโจทย์จะได้ว่า \(x\) แปรผันตรงกับ \(y\) และมี\(\frac{2}{3}\) เป็นค่าคงตัวของการแปรผัน
2) \(F=x\)
ตอบ จะได้ว่า \(F\) แปรผันตรงกับ \(x\) และมี\(1\) เป็นค่าคงตัวของการแปรผัน
3)\(u=-0.5v\)
ตอบ จะได้ว่า \(u\) แปรผันตรงกับ \(v\) และมี \(-0.5\)เป็นค่าคงตัวของการแปรผัน
4)\(s=vt\) โดยที่ \(t\) เป็นค่าคงตัว และ \(t\neq 0 \)
ตอบ จะได้ว่า \(s\) แปรผันตรงกับ \(v\) และมี\(t\) เป็นค่าคงตัวของการแปรผัน
5) \(A=\pi r^{2}\) เมื่อ \(A\) แทนพื้นที่วงกลม และ \(r\) แทนรัศมีวงกลม
ตอบ จะได้ว่า \(A\) แปรผันตรงกับ \(r^{2}\) และมี\(\pi\)เป็นค่าคงตัวของการแปรผัน
6)\(A=s^{2}\) เมื่อ \(A\) แทนพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส และ \(s\)แทนความยาวของด้าน
ตอบ จะได้ว่า \(A\)แปรผันตรงกับ \(s^{2}\) และมี \(1\)เป็นค่าคงตัวของการแปรผัน
7)\(V=\frac{4}{3} \pi r^{3}\) เมื่อ\(V\)แทนปริมาตรของทรงกลม และ \(r\)แทนรัศมีของทรงกลม
ตอบ \(V\) แปรผันตรงกับกับ \(r^{3}\) และมี\(\frac{4}{3}\pi\)เป็นค่าคงตัวของการแปรผัน
แบบฝึกหัด
1.จากสิ่งที่กำหนดให้ต่อไปนี้ จงเขียนสมการแสดงการแปรผันโดยใช้สัญลักษณ์ที่กำหนดให้ในแต่ละข้อ
1)ระยะทางที่รถยนต์คันหนึ่งแล่นได้ \(s\)(กิโลเมตร) เมื่อใช้อัตราเร็วคงที่ แปรผันตรงกับเวลาในการเดินทาง\(t\) (ชั่วโมง)และค่าคงตัวของการแปรผันคือ \(60\)
ตอบ จากโจทย์ได้ว่า \(s\propto t\) และมี\(60\)คือค่าคงตัวของการแปรผัน ดังนั้นจึงได้ว่า
\(s=60t\)
3)ดอกเบี้ยจากเงินกู้ \(I\)(บาท) แปรผันตรงกับจำนวนเงินที่ให้กู้\(P\)(บาท)และค่าคงตัวของการแปรผันคือ \(0.5\)
ตอบ จากโจทย์ได้ว่า \(I\propto P \) และมี \(0.5\) เป็นค่าคงตัวของการแปรผัน
ดังนั้นจึงได้ว่า \(I=0.5P\)
5) พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส \(A\) (ตารางหน่วย ) แปรผันตรงกับกำลังสองของความยาวของเส้นทแยงมุม \(d\)(หน่วย) และค่าคงตัวของการแปรผันคือ \(\frac{1}{2}\)
ตอบ \(A=\frac{1}{2} d^{2}\)
2. สมการต่อไปนี้แสดงการแปรผันตรง จงบอกว่าปริมาณใดแปรผันตรงกับปริมาณใดพร้อมทั้งบอกค่าคงตัวของการแปรผันนั้น
2)\(e=0.05m\)
ตอบ ง่ายๆข้อนี้ ง่ายมากเลย ได้ว่า \(e \)แปรผันตรงกับ \(m\) และมี \(0.05\)เป็นค่าคงตัวของการแปรผัน
4) \(P=\frac{3q}{2}\)
ตอบ ได้ว่า \(P\)แปรผันตรงกับ \(q\) และมี\(\frac{3}{2}\)เป็นค่าคงตัวของการแปรผัน
3.ถ้า \(y\) แปรผันตรงกับ \(x\) และ \(y=6\) เมื่อ\(x=3\)
1) จงหาค่าคงตัวของการแปรผัน(หาค่า k นั่นเอง)
ตอบ จากโจทย์ \(y\) แปรผันตรงกับ \(x\) จึงได้ว่า \(y=kx\) โจทย์กำหนดว่า \(y=6\) เมื่อ\(x=3\) แทนค่า \(x\)และ\(y\) ลงสมการแปรผันครับ จะได้ว่า
จาก \(y=kx\)
จะได้
\(6=3k\) แก้สมการเพื่อหาค่า \(k\)
\(k=\frac{6}{3}=2\)
ดังนั้น \(k=2\) ง่ายมาก
3) ถ้า \(x\) เป็น \(3\) เท่าของปริมาณเดิม \(y\)จะเป็นกี่เท่าของปริมาณเดิม
ตอบ ปริมาณเดิมของ \(x\)คือ \(3\)
\(3\)เท่าของปริมาณคือ\(3\times 3 =9\)
แทน \(x\)ด้วย \(9\) และแทน \(k\)ด้วย \(2\) สมการ \(y=kx\) จะได้
\(y=2(9)\)
\(y=18\)
จาก \(y\) เดิมคือ \(6\) และ \(y\)ใหม่คือ \(18\)
ดังนั้น \(y\)ใหม่เป็นกี่เท่าของ \(y\)เดิมก็คือ เอา y ใหม่ หาร y เดิม
จะได้ \(\frac{18}{6}=3\)
นั่นคือ \(y\)เป็น \(3\)เท่าของปริมาณเดิม
4. ถ้า \(P\) แปรผันตรงกับ \(Q^{2}\) และ \(P=9\) เมื่อ \(Q=3\) จงหาค่า\(P\)เมื่อ\(Q=\frac{5}{2}\)
ตอบ \(P\) แปรผันตรงกับ \(Q^{2}\) นั่นหมายความว่า \(P=kQ^{2}\)
จากโจทย์บอกว่า \(P=9\) เมื่อ \(Q=3\) จะได้
\(9=k(3^{2})\) แก้สมการหาค่า \(k\)
\(k=\frac{9}{9}\)
\(k=1\)
โจทย์ให้หา ค่า\(P\)เมื่อ\(Q=\frac{5}{2}\)
นั่นคือแทนค่า \(Q=\frac{5}{2}\) และ \(k=1\) ในสมการ \(P=kQ^{2}\)
จะได้
\(P=(1)\left(\frac{5}{2}\right)^{2}\)
\(P=\frac{5^{2}}{2^{2}}\)
\(P=\frac{25}{4}\)