พิจารณาตารางแสดงความสันพันธ์ต่อไปนี้

ครอบครัวๆหนึ่งมีลูกชาย \(2\) คน ในการไปโรงเรียนแต่ละวันทั้งสองคนจะได้รับเงินไปโรงเรียนจากแม่ไม่เท่ากัน  ดังตารางต่อไปนี้

จำนวนเงินที่น้องชายได้รับ(x) จำนวนเงินที่พี่ชายได้รับ(y)
\(5\) \(10\)
\(6\) \(12\)
\(7\) \(14\)
\(8\) \(16\)
\(9\) \(18\)
\(10\) \(20\)
\(11\) \(22\)
\(12\) \(24\)

ให้ \(x\) แทนจำนวนเงินที่น้องชายได้รับ

\(y\) แทนจำนวนเงินที่พี่ชายได้รับ

จะเห็นว่า \(x\) และ \(y\) มีความสัมพันธ์กันตามสมการคือ \(y=2x\)

ความสัมพันธ์ของปริมาณ \(x\) และ ปริมาณ \(y\) ในตารางเป็นตัวอย่างของการแปรผันตรงครับ นั่นคือ จากตารางจะเรียกว่า \(y\) แปรผันตรงกับ \(x\)

ตัวอย่างที่ผมยกให้ดูข้างต้นเป็นตัวอย่างของปริมาณสองปริมาณที่แปรผันตรงกัน ครับ ซึ่งในชีวิตประจำวันถ้าสังเกตดีๆน่ะครับ ปริมาณต่างๆ จะมีความแปรผันตรงกันครับ ลองสังเกตดูดีๆครับ ต่อไป ไปดูนิยามของ การแปรผันตรงกันครับ

นิยาม

ให้ \(y\) และ \(x\) เป็นปริมาณใดๆ

\(y\) แปรผันตรงกับ \(x\) ก็ต่อเมื่อ สามารถเขียน \(y\) กับ \(x\) ให้อยู่ในรูปความสัมพันธ์ของสมการ \(y=kx\) เมื่อ \(k\)คือ ค่าคงตัวใดๆ และ\(k\neq 0 \)

เรียก \( y=kx\) ว่าสมการแสดงการแปรผัน

เรียก \(k\)  ว่า ค่าคงตัวของการแปรผัน

\( y\) แปรผันตรงกับ \(x\) เขียนแทนด้วย \(y\propto x \)

เรามาดูตัวอย่างเกี่ยวกับ การแปรผันตรงน่ะครับ ย้ำนะครับ นิยามของการแปรผันตรงสำคัญมากน่ะครับ

ย้ำอีกครั้งแล้วกัน \(y\) แปรผันตรงกับ \(x\) ก็ต่อเมื่อ \(y=kx\) น่ะครับ นิยามนี้พูดง่ายๆก็คือ

ถ้า เรารู้ว่าหรือถ้าโจทย์บอกว่า \(y\)แปรผันตรงกับ \(x\) เราสาสามารถเขียนสมการแสดงความสัมพันธ์ \(x\)กับ \(y\) ได้เลยคือ \(y=kx\) เมือ \(k\)คือค่าคงตัวใดๆ ค่าคงตัวคือจำนวนตัวเลขน่ะครับ คือ อาจจะเป็นจำนวนเต็มก็ได้ เศษส่วนก็ได้ ทศนิยมก็ได้ครับ

ถ้าเรารู้ว่าหรือถ้าโจทย์บอกว่า \(u\)แปรผันตรงกับ \(v\) เราสามารถเขียนสมการแสดงความสัมพันธ์\(u\)กับ \(v\)ได้เลยคือ \(u=kv\) เมื่อ \(k\)คือค่าคงตัวใดๆ

 

ตอบคำถามต่อไปนี้

1.จากสิ่งที่กำหนดให้ต่อไปนี้ จงเขียนสมการแสดงการแปรผัน

1) \(y\propto   x\) (อ่านว่า y แปรผันตรงกับ x) และ \(4\) เป็นค่าคงตัวของการแปรผัน(k=4 นั่นเอง)

ตอบ \(y\propto   x\) (อ่านว่า y แปรผันตรงกับ x) นั่นคือเราจะได้ว่า \(y=kx\) และ\(k=4\) แทนค่า \(k\)ลงไปครับจะได้

\(y=4x\)  ง่ายมากข้อนี้

2) \(u \propto v\) และ \(\frac{1}{3} \) เป็นค่าคงตัวของการแปรผัน

ตอบ \(u \propto v\) จะได้ว่า \(u=kv \) และ \(k=\frac{1}{3}\) จะได้ว่า

\(u=\frac{1}{3}v\)

3) \(s \propto t\) และ \(0.7\) เป็นค่าคงตัวของการแปรผัน

ตอบ \(s=0.7t\)

4)\(s \propto t^{3}\) และ \(2\) เป็นค่าคงตัวของการแปรผัน

ตอบ \(s=2t^{3}\)

5) \(t\propto \sqrt{l^{2}}\) และ \(\frac{1}{3}\) เป็นค่าคงตัวของการแปรผัน

ตอบ \(t=\frac{1}{3}\sqrt{l^{2}}\)

6) \(H\propto I^{2}\) และ \(-3\) เป็นค่าคงตัวของการแปรผัน

ตอบ \(H=-3I^{2}\)


2.จากสมการแสดงการแปรผันที่กำหนดให้ต่อไปนี้ จงบอกความเกี่ยวข้องระหว่างตัวแปรและค่าคงตัวของการแปรผัน

1)\(x=\frac{2}{3}y\)

ตอบ จากโจทย์จะได้ว่า \(x\) แปรผันตรงกับ \(y\) และมี\(\frac{2}{3}\) เป็นค่าคงตัวของการแปรผัน

2) \(F=x\)

ตอบ จะได้ว่า \(F\) แปรผันตรงกับ \(x\) และมี\(1\) เป็นค่าคงตัวของการแปรผัน

3)\(u=-0.5v\)

ตอบ จะได้ว่า \(u\) แปรผันตรงกับ \(v\) และมี \(-0.5\)เป็นค่าคงตัวของการแปรผัน

4)\(s=vt\) โดยที่ \(t\) เป็นค่าคงตัว และ \(t\neq 0 \)

ตอบ จะได้ว่า \(s\) แปรผันตรงกับ \(v\) และมี\(t\) เป็นค่าคงตัวของการแปรผัน

5) \(A=\pi r^{2}\) เมื่อ \(A\) แทนพื้นที่วงกลม และ \(r\) แทนรัศมีวงกลม

ตอบ จะได้ว่า \(A\) แปรผันตรงกับ \(r^{2}\) และมี\(\pi\)เป็นค่าคงตัวของการแปรผัน

6)\(A=s^{2}\) เมื่อ \(A\) แทนพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส และ \(s\)แทนความยาวของด้าน

ตอบ จะได้ว่า \(A\)แปรผันตรงกับ \(s^{2}\) และมี \(1\)เป็นค่าคงตัวของการแปรผัน

7)\(V=\frac{4}{3} \pi r^{3}\)  เมื่อ\(V\)แทนปริมาตรของทรงกลม และ \(r\)แทนรัศมีของทรงกลม

ตอบ \(V\) แปรผันตรงกับกับ \(r^{3}\) และมี\(\frac{4}{3}\pi\)เป็นค่าคงตัวของการแปรผัน

แบบฝึกหัด

1.จากสิ่งที่กำหนดให้ต่อไปนี้ จงเขียนสมการแสดงการแปรผันโดยใช้สัญลักษณ์ที่กำหนดให้ในแต่ละข้อ

1)ระยะทางที่รถยนต์คันหนึ่งแล่นได้ \(s\)(กิโลเมตร) เมื่อใช้อัตราเร็วคงที่ แปรผันตรงกับเวลาในการเดินทาง\(t\) (ชั่วโมง)และค่าคงตัวของการแปรผันคือ \(60\)

ตอบ จากโจทย์ได้ว่า \(s\propto t\) และมี\(60\)คือค่าคงตัวของการแปรผัน ดังนั้นจึงได้ว่า

\(s=60t\)

3)ดอกเบี้ยจากเงินกู้ \(I\)(บาท) แปรผันตรงกับจำนวนเงินที่ให้กู้\(P\)(บาท)และค่าคงตัวของการแปรผันคือ \(0.5\)

ตอบ จากโจทย์ได้ว่า \(I\propto P \) และมี \(0.5\) เป็นค่าคงตัวของการแปรผัน

ดังนั้นจึงได้ว่า \(I=0.5P\)

5) พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส \(A\) (ตารางหน่วย ) แปรผันตรงกับกำลังสองของความยาวของเส้นทแยงมุม \(d\)(หน่วย) และค่าคงตัวของการแปรผันคือ \(\frac{1}{2}\)

ตอบ \(A=\frac{1}{2} d^{2}\)

2. สมการต่อไปนี้แสดงการแปรผันตรง จงบอกว่าปริมาณใดแปรผันตรงกับปริมาณใดพร้อมทั้งบอกค่าคงตัวของการแปรผันนั้น

2)\(e=0.05m\)

ตอบ ง่ายๆข้อนี้ ง่ายมากเลย ได้ว่า \(e \)แปรผันตรงกับ \(m\) และมี \(0.05\)เป็นค่าคงตัวของการแปรผัน

4) \(P=\frac{3q}{2}\)

ตอบ ได้ว่า \(P\)แปรผันตรงกับ \(q\) และมี\(\frac{3}{2}\)เป็นค่าคงตัวของการแปรผัน


3.ถ้า \(y\) แปรผันตรงกับ \(x\) และ \(y=6\) เมื่อ\(x=3\)

1) จงหาค่าคงตัวของการแปรผัน(หาค่า k นั่นเอง)

ตอบ จากโจทย์ \(y\) แปรผันตรงกับ \(x\) จึงได้ว่า \(y=kx\) โจทย์กำหนดว่า \(y=6\) เมื่อ\(x=3\) แทนค่า \(x\)และ\(y\) ลงสมการแปรผันครับ จะได้ว่า

จาก \(y=kx\)

จะได้

\(6=3k\) แก้สมการเพื่อหาค่า \(k\)

\(k=\frac{6}{3}=2\)

ดังนั้น \(k=2\) ง่ายมาก

3) ถ้า \(x\) เป็น \(3\) เท่าของปริมาณเดิม  \(y\)จะเป็นกี่เท่าของปริมาณเดิม

ตอบ ปริมาณเดิมของ \(x\)คือ \(3\)

\(3\)เท่าของปริมาณคือ\(3\times 3 =9\)

แทน \(x\)ด้วย \(9\) และแทน \(k\)ด้วย \(2\) สมการ \(y=kx\) จะได้

\(y=2(9)\)

\(y=18\)

จาก \(y\) เดิมคือ \(6\) และ \(y\)ใหม่คือ \(18\)

ดังนั้น \(y\)ใหม่เป็นกี่เท่าของ \(y\)เดิมก็คือ เอา y ใหม่ หาร  y เดิม

จะได้ \(\frac{18}{6}=3\)

นั่นคือ \(y\)เป็น \(3\)เท่าของปริมาณเดิม


4. ถ้า \(P\) แปรผันตรงกับ \(Q^{2}\) และ \(P=9\) เมื่อ \(Q=3\) จงหาค่า\(P\)เมื่อ\(Q=\frac{5}{2}\)

ตอบ \(P\) แปรผันตรงกับ \(Q^{2}\) นั่นหมายความว่า \(P=kQ^{2}\)

จากโจทย์บอกว่า \(P=9\) เมื่อ \(Q=3\) จะได้

\(9=k(3^{2})\)  แก้สมการหาค่า \(k\)

\(k=\frac{9}{9}\)

\(k=1\)

โจทย์ให้หา ค่า\(P\)เมื่อ\(Q=\frac{5}{2}\)

นั่นคือแทนค่า \(Q=\frac{5}{2}\) และ \(k=1\) ในสมการ \(P=kQ^{2}\)

จะได้

\(P=(1)\left(\frac{5}{2}\right)^{2}\)

\(P=\frac{5^{2}}{2^{2}}\)

\(P=\frac{25}{4}\)