ที่ผ่านมาเรากล่าวถึงการหาค่าเปอร์เซ็นต์ไทล์ของข้อมูลที่ไม่มีการแจกแจงความถี่หาอ่านได้ตามลิงค์
นี้ครับ Percentile(เปอร์เซนไทล์) ในบทความนี้เราจะกล่าวถึงการหาค่าเปอร์เซ็นต์ไทล์ของข้อมูลที่มีการแจกแจงความถี่ พูดง่ายๆก็คือข้อมูลนั้นให้มาเป็นช่วงๆ มีหลายอันตรภาคชั้น ซึ่งขั้นตอนในการหามีดังนี้
ขั้นตอนที่ 1 คำนวณหาตำแหน่งของเปอร์เซ็นต์ไทล์ จากสูตรต่อไปนี้
ตำแหน่ง \(P_{k}=\frac{kN}{100}\)
เมื่อได้ตำแหน่งแล้วก็เอาไปแทนค่าในสูตรในขั้นตอนที่ 2
ขั้นตอนที่ 2 เอาตำแหน่งจากการคำนวณในขั้นตอนที่ 1 มาแทนค่าในสูตรนี้ก็จะได้คำตอบ
\(P_{k}=L+\left(\frac{\frac{kN}{100}-F_{p}}{f_{p}}\right)I\)
เมื่อ L คือ ขอบล่างของอันตรภาคชั้นที่เปอร์เซ็นต์ไทล์ตั้งอยู่
\(F_{p}\) คือ ความถี่สะสมของอันตรภาคชั้นที่ต่ำกว่าชั้นที่เปอร์เซ็นต์ไทล์ตั้งอยู่
\(f_{p}\) คือ ความถี่ของอันตรภาคชั้นที่เปอร์เซ็นต์ไทล์ตั้งอยู่
\(I\) คือ ความกว้างของอันตรภาคชั้น
ดูจากที่อธิบายมาอาจจะยังงงๆน่ะครับ เรามาลองทำแบบฝึกหัดกันเลยดีกว่า
ตัวอย่างที่ 1 จากข้อมูลที่กำหนดให้จงหาค่าของ \(P_{85} ,P_{50}\)
คะแนนสอบ | จำนวนนักเรียน(f) | ความถี่สะสม(F) |
1-10 | 8 | 8 |
11-20 | 10 | 18 |
21-30 | 20 | 38 |
31-40 | 12 | 50 |
จากข้อมูลที่โจทย์กำหนดให้เป็นข้อมูลที่แจกแจงความถี่หรือคือเป็นข้อมูลที่ให้มาเป็นช่วงๆ อันตรภาคชั้น
ทำตามขั้นตอนเลยคือ
1.คำนวณหาตำแหน่งของเปอร์เซ็นต์ไทล์ที่ 85 ดังนั้น เราจะได้ k=85 และ N คือจำนวนข้อมูลทั้งหมดในที่นี้คือจำนวนนักเรียนทั้งหมดที่เข้าสอบนั่นเองนั้นคือ N=50
ตำแหน่ง \(P_{85}=\frac{85\times 50}{100}=42.5\)
ดังนั้นจากตรงนี้เราจะได้ว่าเปอร์ที่เซ็นต์ไทล์ที่ 85 คือข้อมูลที่อยู่ที่ตำแหน่งที่ 42.5
จากตารางข้อมูลที่เขาให้มาจะเห็นว่าข้อมูลตำแหน่งทีี่ 39 ถึงตำแหน่งที่ 50 อยู่ในช่วงคะแนนสอบ 31-40
เปอร์เซ็นต์ที่ 85 คือข้อมูลที่อยู่ที่ตำแหน่งที่ 42.5 ซึ่งอยู่ระหว่างข้อมูลตำแหน่งที่ 39 กับตำแหน่งที่ี 50 ดังนั้นเปอร์เซ็นต์ที่ 85 ต้องมีค่าในช่วงคะแนน 31-45 แน่ นั่นคือคำตอบคร่าวๆของเราคือไม่น้อยกว่า 31 และไม่เกิน 40
2. เอาส่งที่เราได้จากขั้นตอนที่ 1 ไปแทนค่าในสูตร
จากขั้นตอนที่ 1 เราได้ว่า
เปอร์เซ็นต์ไทล์ที่ 85 อยู่ในช่วงคะแนน 31-40 ก็คือตั้งอยู่ในอ้ันตรภาคชั้นที่ 4 ดังนั้น
\(L=31-0.5=30.5\)
\(\frac{kN}{100}=42.5\)
\(F_{p}=38\)
\(f_{p}=12\)
\(I=40-31+1=10\)
แทนค่าในสูตรจะได้
\(P_{85}=30.5+\left(\frac{42.5-38}{12}\right)10\)
\(P_{85}=34.25\)
ตอบ เปอร์เซ็นต์ไทล์ที่ 85 เท่ากับ 34.25 คะแนน
หาเปอร์เซ็นต์ไทล์ที่ 50 ก็ทำเหมือนเดิม
1.คำนวณหาตำแหน่งของเปอร์เซ็นต์ไทล์ที่ 50 ก่อน
ตำแหน่ง \(P_{50}=\frac{50\times 50}{100}=25\)
เปอร์เซ็นต์ไทล์ที่ 50 คือข้อมูลที่อยู่ที่ตำแหน่งที่ 25
จากข้อมูลในตารางที่เขาให้มาข้อมูลที่อยู่ที่ตำแหน่งที่ 19 ถึงตำแหน่งที่ 38 อยู่ในในช่วงคะแนนสอบ 21-30 เนื่องจากเปอร์เซ็นต์ที่ 50 อยู่ที่ตำแหน่งที่ 25 ดังนั้นเปอร์เซ็นต์ไทล์ที่ 50 อยู่ในช่วงคะแนน 21-30 ดังนั้นคำตอบที่ไ่ด้ต้องไม่น้อยกว่า 21 และไม่เกิน 30
2. จากขั้นตอนที่ 1 จะเห็นว่าเปอร์เซ็นต์ไทล์ที่ 50 นั้นอยู่ในช่วงคะแนน 21-30 ซึ่งตรงกับอันตรภาคชั้นที่ 3
ดังนั้น
\(L=21-0.5=20.5\)
\(\frac{kN}{100}=25\)
\(F_{p}=18\)
\(f_{p}=20\)
\(I=30-21+1=10\)
แทนค่าในสูตรจะได้
\(P_{50}=20.5+\left(\frac{25-18}{20}\right)10\)
\(P_{50}=24\)
ตอบ เปอร์เซ็นต์ไทล์ที่ 50 เท่ากับ 24 คะแนน
ตัวอย่างที่ 2 ถ้าในการสอบครั้งหนึ่งถือว่าคนที่สอบได้คะแนนน้อยกว่าหรือเท่ากับคะแนน ณ ตำแหน่ง \(P_{70}\) ลงมาถึงคะแนนขนาดหนึ่ง เป็นผู้ที่อยู่ในระดับปานกลาง ถ้าผู้สอบได้ในกลุ่มนี้มี \(20\%\) ของจำนวนนักเรียนทั้งหมดแล้วนักเรียนที่ได้คะแนนต่ำสุดของกลุ่มนี้สอบได้กี่คะแนน
คะแนน | ความถี่ | ความถี่สะสม |
50-59 | 13 | 13 |
60-69 | 12 | 25 |
70-79 | 20 | 45 |
80-89 | 11 | 56 |
90-99 | 15 | 71 |
100-109 | 1 | 72 |
110-119 | 3 | 75 |
120-129 | 2 | 77 |
130-139 | 3 | 80 |
วิธีทำ ในการทำข้อนี้เราต้องวิเคราะห์โจทย์ก่อนครับว่าโจทย์ให้เราหาอะไรกันแน่ ดูจากแผนภาพด้านล่างเอานะครับ
ข้อนี้ถ้าวิเคราะห์ตามโจทย์ดูจากแผนภาพแล้วคือให้หา \(P_{50}\) นั่นเองครับขั้นตอนในการหาคือ
1. หาตำแหน่งของ \(P_{k}\) ก่อนคือ
\begin{array}{lcl}P_{k}=\frac{kN}{100}\\P_{50}&=&\frac{50(80)}{100}\\P_{50}&=&40\end{array}
จากความถี่สะสมของอันตรภาคชั้นสุดท้ายทำให้เรารู้ว่ามีคนเข้าสอบทั้งหมด 80 คน ก็คือ \(N=80\) นั่นเองครับแต่ไปเมื่อหาตำแหน่งของเปอร์เซ็นไทล์ที่ 50 ได้แล้ว จะเห็นว่าเปอร์เซ็นไทล์ที่ 50 คือข้อมูลที่อยู่ที่ตำแหน่งที่ 40 นั่นเองครับเราก็ไปดูที่ช่องความถึ่สะสมครับเพื่อหาว่าข้อมูลตำแหน่งที่ 40 มันอยู่ในอันตรภาคชั้นไหนจะเห็นว่าที่อันตรภาคชั้นที่ 3 มีความถี่สะสมคือ 45 ดังนั้นข้อมูลตำแหน่งที่ 26 ถึงตำแหน่งที่ 45 อยู่ในอันตรภาคชั้นที่ 3 นี้ครับ ฉะนั้นตอนนี้เรารู้คร่าวๆแน่ว่า \(P_{50}\) คือช่วงคะแนน 70-79 แน่ๆ
2. เมื่อผ่านขั้นตอนที่ 1 คือหาตำแหน่งได้แล้วต่อไปก็เข้าสู่ขั้นตอนที่ 2 คือนำข้อมูลที่ได้ไปแทนค่าในสูตรนี้
\begin{array}{lcl}P_{k}&=&L+\left(\frac{\frac{kN}{100}-F_{p}}{f_{p}}\right)I\end{array}
จากที่เรารู้ว่า \(P_{50}\) คือช่วงคะแนน 70-79 ดังนั้น
\(L=69.5\quad , I=10\quad , F_{p}=25\quad ,f_{p}=20\) แทนค่าในสูตรเลยครับจะได้
\begin{array}{lcl}P_{50}&=&69.5+\left(\frac{40-25}{20}\right)10\\P_{50}&=&77\end{array}
ดังนั้นคะแนนต่ำสุดของนักเรียนที่ของกลุ่มนักเรียน \(20\%\) เท่ากับ 77 คะแนน
ตัวอย่างที่ 3 ตารางต่อไปนี้แสดงคะแนนสอบนักเรียน 150 คน
คะแนน | จำนวนนักเรียน | ความถี่สะสม |
30-39 | 8 | 8 |
40-49 | 10 | 18 |
50-59 | 12 | 30 |
60-69 | 45 | 75 |
70-79 | 50 | 125 |
80-89 | 20 | 145 |
90-99 | 5 | 150 |
จงหาคะแนนต่ำสุดของกลุ่มนักเรียนที่ได้คะแนนสูงสุด ซึ่งนักเรียนกลุ่มนี้คิดเป็น \(20\%\) ของนักเรียนทั้งชั้น
วิธีทำ ข้อนี้ทุกคนเห็นตรงกันไหมว่าโจทย์ให้เราหา เปอร์เซ็นไทล์ที่ 80 นั่นเองนะครับ ถ้าใครมองไม่เห็นตรงนี้ก็ค่อยๆคิดนะ
ขั้นตอนต่อไปคือ
1. หาตำแหน่งของ \(P_{80}\) ซึ่ง
ตำแหน่ง \(P_{80}=\frac{80(150)}{100}=120\)
นั่นคือ จากตรงนี้เราจะได้ว่า \(P_{80}\) คือข้อมูลที่อยู่ที่ตำแหน่ง 120 ซึ่งถ้าเราดูจากความถี่สะสมที่โจทย์ให้มาตำแหน่งนี้จะอยู่ในอันตรภาคชั้นที่ 5 ซึ่งอยู่ในช่วงคะแนน \(70-79\)
2. หา \(P_{80}\) โดยใช้สูตร
\(P_{k}=L+\left(\frac{\frac{kN}{100}-F_{p}}{f_{p}}\right)I\)
แทนค่าลงไปเลยครับ
\begin{array}{lcl}P_{80}&=&69.5+(\frac{120-75}{50})10\\&=&69.5+\frac{45}{50}(10)\\&=&69.5+9\\&=&78.5\end{array}
ดังนั้นคะแนนต่ำสุดของกลุ่มนักเรียนที่ได้คะแนนสูงสุดคือ 78.5 คะแนน
เป็นอย่างไรบ้างไม่ยากแต่สูตรยาวนิดหนึ่ง ข้อสอบ o-net ออกนะครับเรื่องนี้ เก็บคะแนนให้ได้ ข้อสอบตามโรงเรียนต่างๆก็ไม่ยาก ตั้้งใจเรียนทั้งในห้องเรียนหาความรู้เพิ่มตามแหล่งต่างเองบ้าง ไม่จำเป็นต้องเรียนพิเศษเปลืองตั้งค์ มีปัญหาอะไรผิดพลาดตรงไหนแนะนำได้ครับ
แบบฝึกหัดและหัวอื่นๆที่เกี่ยวข้อง