วันนี้มีเวลาว่างนิดหน่อยก็เลยสละเวลาอันน้อยนิดมาเขียนบทความเล็กๆน้อยๆ ซึ่งเป็นเนื้อหาเกี่ยวกับเรื่อง
ค่าสัมบูรณ์ของจำนวนเชิงซ้อน ไม่ขอเขียนยือยาวขอสรุปให้เลยแล้วกันน่ะ และมีตัวอย่างประกอบเล็กน้อย ใครอ่านแล้วไม่เข้าใจก็ถามได้นะ ไม่ต้องเกรงใจ
ให้ \(z=x+yi\) เป็นจำนวนเชิงซ้อน
ค่าสัมบูรณ์ของ z เขียนแทนด้วย \(|z|\) ซึ่ง
\(|z|=\sqrt{x^{2}+y^{2}}\) ก็คือเอาส่วนจริงและส่วนจินตภาพยกกำลังสองบวกกันใส่รูท
หรือถ้าเรามองในเชิงเรขาคณิตเราจะเห็นว่า ค่าสัมบูรณ์ของจำนวนเชิงซ้อนคือขนาดของเวกเตอร์ที่มีจุดเริ่มต้นที่จุดกำเนิดไปยังจำนวนเชิงซ้อนตัวนั้น ดูรูปประกอบนะครับ ค่าสัมบูรณ์ของจำนวนเชิงซ้อน (3,4) หรือก็คือค่าสัมบูรณ์ของจำนวนเชิงซ้อน 3+4i คือขนาดของเวกเตอร์ที่มีจุดเริ่มต้นที่จุดกำเนิดไปยังจำนวนเชิงซ้อน (3,4) นั่นเองซึ่งมีความยาวเท่ากับ 5 หน่วยนั่นเอง นั่นก็คือ ถ้าผมให้ \(z=3+4i\) จะได้ว่า \(|z|=\sqrt{3^{2}+4^{2}}=\sqrt{9+16}=5\) ดูรูปประกอบนะครับ
ตัวอย่างที่ 1 จงหาค่าสัมบูรณ์ของจำนวนเชิงซ้อนต่อไปนี้
1.1 \(z_{1}=3+4i\)
วิธีทำ จะเห็นว่า x=3 ,y=4
\(|z_{1}|=\sqrt{x^{2}+y^{2}}\)
\(|z_{1}|=\sqrt{3^{2}+4^{2}}\)
\(|z_{1}|=\sqrt{9+16}\)
\(|z_{1}|=\sqrt{25}\)
\(|z_{1}|=5\)
1.2 \(z_{2}=3-2i\)
วิธีทำ จะเห็นว่า x=3 , y=-2
\(|z_{2}|=\sqrt{3^{2}+(-2)^{2}}\)
\(|z_{2}|=\sqrt{9+4}\)
\(z_{2}=\sqrt{13}\)
1.3 \(z_{3}=1-i\)
วิธีทำ จะเห็นว่า x=1 ,y=-1
\(|z_{3}|=\sqrt{1^{2}+(-1)^{2}}\)
\(|z_{3}|=\sqrt{1+1}\)
\(|z_{3}|=\sqrt{2}\)
1.4 \(z_{4}=-\sqrt{3}-i\)
วิธีทำ จะเห็นว่า \(x=-\sqrt{3},y=-1\)
\(|z_{4}|=\sqrt{(-\sqrt{3})^{2}+(-1)^{2}}\)
\(|z_{4}|=\sqrt{3+1}\)
\(|z_{4}|=2\)
1.5 \(z_{5}=(1+3i)-(2+i)\)
วิธีทำ จะเห็นว่าการที่เราจะหาค่าสัมบูรณ์ข้อนี้ได้เราต้องทำการลบจำนวนเชิงซ้อนก่อน จัดรูปก่อนนั่นเอง
\(z_{5}=(1+3i)-(2+i)\)
\(z_{5}=1+3i-2-i\)
\(z_{5}=-1+2i\) จะเห็นว่า x=-1,y=2
\(|z_{5}|=\sqrt{(-1)^{2}+(2)^{2}}\)
\(|z_{5}|=\sqrt{1+4}\)
\(|z_{5}|=\sqrt{5}\)
ต่อไปเรามาดูสมบัติที่สำคัญของค่าสัมบูรณ์ของจำนวนเชิงซ้อนกันดีกว่าคับ
\(1.\quad |z|=|-z|=|\bar{z}|=|-\bar{z}|\)
\(2.\quad |z|^{2}=z\cdot \bar{z}\)
\(3. \quad |z^{n}|=|z|^{n}\)
\(4. \quad |z_{1}\cdot z_{2}|=|z_{1}||z_{2}|\)
\(5. \quad |\frac{z_{1}}{z_{2}}|=\frac{|z_{1}|}{|z_{2}|}\)
\(6. \quad |z_{1}+z_{2}|^{2}=|z_{1}|^{2}+|z_{2}|^{2}+(z_{1}\bar{z_{2}}+\bar{z_{1}}z_{2})\)
\(\quad\quad |z_{1}-z_{2}|^{2}=|z_{1}|^{2}+|z_{2}|^{2}-(z_{1}\bar{z_{2}}+\bar{z_{1}}z_{2})\)
เราจะนำสมบัติเหล่านี้มาช่วยในการหาค่าสัมบูรณ์ของจำนวนเชิงซ้อน ดังนี้
ตัวอย่างที่ 2 จงหาสัมบูรณ์ของจำนวนต่อไปนี้
1.1 \(z=(1+3i)(2+i)\)
วิธีทำ \(z=(1+3i)(2+i)\)
\(|z|=|(1+3i)(2+i)|\)
\(|z|=|1+3i||2+i|\)
\(|z|=\sqrt{1^{2}+3^{2}}\cdot\sqrt{2^{2}+1^{2}}\)
\(|z|=\sqrt{10}\sqrt{5}\)
\(|z|=\sqrt{50}\)
\(|z|=5\sqrt{2}\)
1.2 \(z=\frac{(1-i)^{15}}{(1+i)^{9}}\)
วิธีทำ \(z=\frac{(1-i)^{15}}{(1+i)^{9}}\)
\(|z|=|\frac{(1-i)^{15}}{(1+i)^{9}}|\)
\(|z|=\frac{|(1-i)^{15|}}{|(1+i)^{9}|}\)
\(|z|=\frac{|(1-i)|^{15}}{|1+i|^{9}}\)
\(|z|=\frac{\big(\sqrt{1^{2}+(-1)^{2}}\big)^{15}}{\big(\sqrt{1^{2}+1^{2}}\big)^{9}}\)
\(|z|=\frac{(\sqrt{2})^{15}}{(\sqrt{2})^{9}}\)
\(|z|=\sqrt{2}^{15-9}\)
\(|z|=\sqrt{2}^{6}\)
\(|z|=8\)
ตัวอย่างที่ 3 กำหนดให้ \(z_{1},z_{2}\) เป็นจำนวนเชิงซ้อนซึ่ง \(|z_{1}+z_{2}|^{2}=5 และ |z_{1}-z_{2}|^{2}=1\) จงหาค่าของ \(|z_{1}|^{2}+|z_{2}|^{2}\) (Pat1 )
วิธีทำ ข้อนี้ใช้สมบัติข้อที่ 6 มาช่วยในการหาคำตอบน่ะ
จาก \(|z_{1}+z_{2}|^{2}=5\)
\(|z_{1}|^{2}+|z_{2}|^{2}+(z_{1}\bar{z_{2}}+\bar{z_{1}}z_{2})=5\) ให้เป็นสมการที่ 1
จาก\(|z_{1}-z_{2}|^{2}=1\)
\(|z_{1}|^{2}+|z_{2}|^{2}-(z_{1}\bar{z_{2}}+\bar{z_{1}}z_{2})=1\) ให้เป็นสมการที่ 2
นำสมการที่ 1 + สมการที่ 2 จะได้
\(2(|z_{1}|^2+|z_{2}|^{2})=5+1\)
\(|z_{1}|^{2}+|z_{2}|^{2}=\frac{6}{2}=3 \quad Ans\)
ตัวอย่างที่ 4 ให้ \(z_{1}\) และ \(z_{2}\) เป็นจำนวนเชิงซ้อนใดๆ และ \(\overline{z_{2}}\) คือสังยุค (conjugate) ของ \(z_{2}\) ถ้า \(5z_{1}+2z_{2}=5\) และ \(\overline{z_{2}}=1+2i\) แล้วค่าของ \(|5z_{1}^{-1}|\) เท่ากับเท่าใด (Pat 1/53)
วิธีทำ ข้อนี้ถือว่าไม่ยากครับคนออกข้อสอบต้องการแค่ให้เราแก้สมการเป็นครับ
เขาต้องการให้เราหาค่านี้ \(|5z_{1}^{-1}|\) แสดงว่าเราต้องหาค่า \(z_{1}\) ให้ได้ก่อนครับ
เนื่องจาก
\(\overline{z_{2}}=1+2i\)
ดังนั้น
\(z_{2}=1-2i\)
เอา \(z_{2}\) ไปแทนค่าในสมการ \(5z_{1}+2z_{2}=5\) เพื่อหาค่า \(z_{1}\) ออกมาครับ
จาก
\begin{array}{lcl}5z_{1}+2z_{2}&=&5\\5z_{1}&=&5-2z_{2}\\5z_{1}&=&5-2(1-2i)\\5z_{1}&=&5-2+4i\\z_{1}&=&\frac{3+4i}{5}\end{array}
ต่อไปหาค่าของ \(z_{1}^{-1}\) ครับ
จาก
\begin{array}{lcl}z_{1}^{-1}&=&\frac{1}{z_{1}}\\&=&\frac{1}{\frac{3+4i}{5}}\\&=&\frac{5}{3+4i}\\&=&\frac{5}{3+4i}\times \frac{3-4i}{3-4i}\\&=&\frac{3-4i}{5}\end{array}
โจทย์ให้หาค่านี้นะครับ \(|5z_{1}^{-1}|\) ก็เริ่มคำนวณกันเลยครับ
\begin{array}{lcl}|5z_{1}^{-1}|&=&|5(\frac{3-4i}{5})|\\&=&|3-4i|\\&=&\sqrt{3^{2}+(-4)^{2}}\\&=&\sqrt{25}\\&=&5\end{array}
ข้อสอบ Pat1 เรื่องนี้ไม่ยากครับแต่ต้องหัดทำบ่อยๆ สมบัติของค่าสัมบูรณ์ก็ต้องจำให้ได้ครับ...