อนุกรมที่ได้จากจากลำดับเรขาคณิตเรียกว่า อนุกรมเรขาคณิต และอัตราส่วนร่วมของลำดับเรขาคณิตจะเป็นอัตราส่วนร่วมของอนุกรมเรขาคณิตด้วย วันนี้ผมจะพาทุกคนฝึกทำโจทย์อนุกรมเรขาคณิตกันครับ การทำโจทย์เกี่ยวกับอนุกรมเรขาคณิตไม่ยากครับแต่ต้องใช้สูตรให้เป็นครับ สำหรับสูตรในการทำโจทย์เกี่ยวกับอนุกรมเรขาคณิตจะมี 2 สูตรด้วยกันครับ เราลองไปดูกันเลยครับ
สูตรในการหาผลบวก n พจน์แรกของอนุกรมเรขาคณิต คือ
\(S_{n}=\frac{a_{1}(1-r^{n})}{1-r} \quad เมื่อ \quad r\neq 1 \) สูตรนี้ใช้ได้ตลอด
หรือ
\(S_{n}=\frac{a_{1}-a_{n}r}{1-r}\quad เมื่อ \quad r\neq 1 \) สูตรนี้ใช้เมื่อรู้พจน์สุดท้าย
ตัวอย่าง จงหาผลบวกแปดพจน์แรกของอนุกรมเรขาคณิต 1+2+4+8+...
จากโจทย์ จะได้ \(a_{1}=1 \quad r=2\)
จากสูตร \(S_{n}=\frac{a_{1}(1-r^{n})}{1-r}\) แทนค่าสิ่งที่โจทย์ให้มาลงในสูตรเลย
\(S_{8}=\frac{1(2)^{8}-1}{2-1}\)
\(S_{8}=\frac{2^{8}-1}{1}\)
\(S_{8}=255\)
ตัวอย่าง จงหาผลบวก 9 พจน์แรกของลำดับเรขาคณิต 2+6+18+54+...
จากโจทย์ \(a_{1}=2 \quad และ \quad r=3 \)
จาก \(S_{n}=\frac{a_{1}(1-r^{n})}{1-r}\)
\(S_{9}=\frac{2(1-3^{8})}{1-3}\)
\(S_{9}=\frac{2(1-6561)}{-2}\)
\(S_{9}=\frac{-13120}{-2}\)
\(S_{9}=6560\)
ตัวอย่าง จงหาผลบวกของอนุกรมต่อไปนี้
1) \(1+2+4+...+128\)
วิธีทำ จะเห็นว่าอนุกรมต่อไปนี้เป็นอนุกรมเรขาคณิตมีค่า \(r=\frac{4}{2}=2\)
เนื่องจากเรารู้พจน์สุดท้ายดังนั้น เราเลือกใช้สูตรนี้ในการหาคำตอบ \(S_{n}=\frac{a_{1}-a_{n}r}{1-r}\)
แทนค่าลงไปเลยนะ ***ไม่จำเป็นต้องรู้ก็ได้ครับ
\(S_{n}=\frac{1-128(2)}{1-2}\)
\(S_{n}=\frac{1-256}{-1}\)
\(S_{n}=255\)
2) \(3-6+12-24+...+192\)
วิธีทำ จะเห็นว่าอนุกรมนี้เป็นอนุกรมเรขาคณิตมีค่า \(r=\frac{-6}{3}=-2\) เนื่องจากรู้พจน์สุดท้ายดังนั้นใช้สูตรนี้ครับ \(S_{n}=\frac{a_{1}-a_{n}r}{1-r}\)
\(S_{n}=\frac{3-192(-2)}{1-(-2)}\)
\(S_{n}=\frac{3+384}{3}\)
\(S_{n}=\frac{387}{3}\)
\(S_{n}=129\)
ตัวอย่าง ลำดับชุดหนึ่งมี \(a_{n}=(-2)^{n}\) จงหาค่าของ \(S_{9}\)
วิธีทำ เนื่องจากโจทย์ข้อนี้เราไม่รู้ว่าเป็นลำดับอะไร เราก็ลองแทนค่า n=1 ,n=2,n=3 ดูก่อน จะได้ดังนี้
\(a_{1}=(-2)^{1}=-2\)
\(a_{2}=(-2)^{2}=4\)
\(a_{3}=(-2)^{3}=-8\)
\(a_{4}=(-2)^{4}=16\)
จะเห็นว่าลำดับที่เราได้คือ \(-2,4,-8,16,...\) เป็นลำดับเรขาคณิต มีค่า \(r=\frac{4}{-2}=-2\)
ดังนั้นนี้อนุกรมนี้เป็นอนุกรมเรขาคณิต โจทย์ให้หา \(S_{9}\) แสดงว่า n=9 ใช้สูตรนี้เลยครับ
\(S_{n}=\frac{a_{1}-a_{n}r}{1-r}\) ต้องรู้ค่าของ \(a_{9}\) ด้วยนะ ถึงใช้สูตรนี้ได้ ไปหากันเลยครับ
จาก \(a_{n}=(-2)^{n}\)
\(a_{9}=(-2)^{9}\)
\(a_{9}=-512\)0
จะได้
\(S_{9}=\frac{-2-[(-512)(-2)]}{1-(-2)}\)
\(S_{9}=\frac{-2-1024}{3}\)
\(S_{9}=\frac{-1026}{3}\)
\(S_{9}=-342\)
ตัวอย่าง ลำดับเรขาคณิตชุดหนึ่ง มี \(a_{3}=24\) และ \(a_{6}=-192\) จงหาค่าของ \(S_{5}\)
วิธีทำ ข้อนี้ผมจะใช้สูตรที่สองแล้วกันครับ ขี้เกียจหาพจน์สุดท้ายครับ คือใช้สูตรนี้ครับ
\(S_{n}=\frac{a_{1}(1-r^{n})}{1-r}\) ซึ่งการที่เราจะใช้สูตรนี้ได้เราต้องรู้ \(a_{1}\) และ \(r\)
ก็หาได้ครับหาไม่ยากอยู่แล้ว ลำดับนี้เป็นลำดับเรขาคณิตฉะนั้นพจน์ทั่วไปของลำดับเรขาคณิตคือ
\(a_{n}=a_{1}r^{n-1}\) ต้องจำให้ได้นะทุกคน
\(a_{3}=a_{1}r^{3-1}\)
\(24=a_{1}r^{2}\) ให้สมการนี้เป็นสมการที่ 1
\(a_{6}=a_{1}r^{6-1}\)
\(a_{6}=a_{1}r^{5}\)
\(-192=a_{1}r^{5}\) ให้เป็นสมการที่ 2
จะเห็นว่าสมการที่ 1 และสมการที่ 2 มีค่า \(a_{1}\) เหมือนกันที่จำมาหารกันจะตัดกันได้ก็จะหาค่า \(r\) ดังนั้นจับมาหารกันเลยครับ นำสมการที่ 2 มาหารด้วย สมการที่ 1 จะได้คือ
\(\frac{-192}{24}=\frac{a_{1}r^{5}}{a_{1}r^{2}}\)
\(-8=r^{3}\)
\(r^{3}=-8\)
\(r^{3}=(-2)^{3}\)
ดังนั้น \(r=-2\)
ต่อไปหา \(a_{1}\) จากสมการที่ 1 คือจากสมการนี้
\(24=a_{1}r^{2}\) แทนค่าของ r=-2 ลงไปเลยจะได้ว่า
\(24=a_{1}(-2)^{2}\)
\(a_{1}=\frac{24}{4}\)
\(a_{1}=6\)
ตอนนี้เราได้ \(a_{1}=6,r=-2\) แทนค่าลงไปในสูตรเลยครับเพื่อหาค่าของ \(S_{5}\)
จากสูตร
\(S_{n}=\frac{a_{1}(1-r^{n})}{1-r}\)
\(S_{5}=\frac{6(1-(-2)^{5})}{1-(-2)}\)
\(S_{5}=\frac{6(1-(-32))}{3}\)
\(S_{5}=\frac{6\times 33}{3}\)
\(S_{5}=2\times 33\)
\(S_{5}=66\) ได้คำตอบแล้วเย่
ใครต้องการศึกษาทำโจทย์เพิ่มเติมอ่านได้เพิ่มเติมที่ลิงค์นี้นะครับ โจทย์อนุกรมเรขาคณิต
สนับสนุนเว็บไซต์