ในการที่จะทำแบบฝึกหัดเรื่องลำดับเลขคณิตได้นั้น สิ่งที่จำเป็นต้องรู้คือ พจน์ทั่วไปของลำดับเลขคณิต
หรือก็คือ \(a_{n}\) นั่นเอง สำหรับลำดับเลขคณิตนั้นมีพจน์ทั่วไปคือ \(a_{n}=a_{1}+(n-1)d\) ตรงนี้จำเป็นต้องจำให้ได้ เพราะจะเป็นเครื่องมืออย่างดีในการทำโจทย์คับ วันนี้เดี่ยวผมจะนำเสนอวิธีการทำโจทย์ในแบบฝึกหัด 1.1.3 เรื่องลำดับเลขคณิต
เริ่มต้นกันที่
ข้อ 5 จงหาพจน์ที่ 15 ของลำดับเลขคณิต 3,8,13,18,23,...
วิธีทำ การทำข้อนี้ก็ไม่ยากคับ สิ่งที่จำเป็นต้องรู้ก็อย่างที่ผมบอกไปแล้ว คือต้องรู้พจน์ทั่วไปของลำดับเลขคณิตซึ่งก็คือ \(a_{n}=a_{1}+(n-1)d\)
ข้อนี้เขาให้หาพจน์ที่ 15 คือให้หา \(a_{15}\) \(\quad\) นั่นเอง
เนื่องจาก \(a_{n}=a_{1}+(n-1)d\)
ดังนั้น \(a_{15}=a_{1}+(15-1)d\)
จากลำดับเลขคณิต 3,8,13,18,23,...
จะเห็นว่า \(a_{1}=3\) และ \(d=8-3=5\) \(\quad\) ดังนั้น
\(a_{15}=3+(15-1)5\)
\(a_{15}=3+14(5)\)
\(a_{15}=3+70\)
\(a_{15}=73\)
ตอบ ด้งนั้น พจน์ที่ 15 คือ 73
ข้อ 6 จงหาพจน์แรกของลำดับเลขคณิตที่มี \(a_{6}=12\) \(\quad\) และ \(\quad\) \(a_{10}=16\)
วิธีทำ จากโจทย์เขาให้หา \(a_{1}\) \(\quad\) โดยเขากำหนด \(\quad\) \(a_{6}\) \(\quad\) และ \(\quad\) \(a_{10}\) \(\quad\) มาให้
วิธีการทำก็คือต้องใช้ความรู้เรื่อง ระบบสมการมาช่วยคับ จากสิ่งที่โเรารู้และโจทย์กำหนดให้มาคือ
\(a_{6}=a_{1}+(6-1)d\) \(\quad\) แทนค่า \(\quad\) \(a_{6}=12\) \(\quad\) ลงไปคับจะได้
\(12=a_{1}+(6-1)d\) \(\quad\) ให้ตรงนี้เป็นสมการที่ 1
\(a_{10}=a_{1}+(10-1)d\) \(\quad\) แทนค่า \(\quad\) \(a_{10}=16\) \(\quad\) ลงไปคับจะได้
\(16=a_{1}+(10-1)d\) \(\quad\) ให้ตรงนี้เป็นสมการที่ 2
เราต้องการหาค่าของ พจน์แรกหรือว่าหาค่าของ \(a_{1}\) \(\quad\) แสดงว่าถ้าเรารู้ค่าของ d ก็จะสามารถหาค่า
\(a_{1}\) \(\quad\) ที่นี้วิธีการหาคือ
นำสมการที่ 2 ลบกับ สมการที่ 1 จะได้
\(16-12=[a_{1}+(10-1)d]-[a_{1}+(6-1)d]\)
\(4=[a_{1}+9d-a_{1}-5d]\)
\(4=4d\)
\(d=\frac{4}{4}=1\)
หาค่า d ได้แล้วต่อไปก็หาค่า ของ \(a_{1}\)
จากที่เรารู้คือ \( a_{6}=a_{1}+(6-1)d\)\(\quad\) แทนค่าสิ่งที่เรารู้ลงไปเพื่อหาค่าของ \(a_{1}\)
ตอนนี้สิ่งที่เรารู้คือ \(a_{6}=12 \) และ \(d=1\)
จะได้ \(12=a_{1}+(6-1)1\)
\(12=a_{1}-5\)
\(a_{1}=12-5\)
\(a_{1}=7\)
ตอบ ดังนั้นพจน์แรกของลำดับนี้คือ 7
วันนีัพอแค่นี้ก่อนน่ะคับ เดี่ยวเจอกันวันหลังคับ
ข้อ 7 จงหาพจน์ที่ 25 ของลำดับเลขคณิตที่มี \(a_{3}=20\) และ \(a_{7}=32\)
วิธีทำ ข้อนี้เขาให้หา \(a_{25}\) โดยที่เขากำหนด \(a_{3}=20\) และ \(a_{7}=32\)\(\quad\) มาให้
เนื่องจาก \(a_{25}=a_{1}+(25-1)d\) \(\quad\) ดังนั้นการที่เราจะหา \(a_{25}\) \(\quad\) เราต้องรู้ค่าของ\(\quad\) \(a_{1}\) และ d
จากสิ่งที่โจทย์กำหนดให้
\(a_{3}=a_{1}+(3-1)d\)
\(20=a_{1}+2d\) \(\quad\) ให้เป็นสมการที่ 1
\(a_{7}=a_{1}+(7-1)d\)
\(32=a_{1}+6d\) \(\quad\) เป็นสมการที่ 2
หา d ก่อนคับ วิธีการหาค่า d คือแก้ระบบสมการคับนำสมการที่ 2 ลบกับ สมการที่ 1 จะได้
\(32-20=(a_{1}+6d)-(a_{1}+2d)\)
\(12=a_{1}+6d-a_{1}-2d\)
\(12=4d\)
\(4d=12\)
\(d=\frac{12}{4}\)
\(d=3\)
หาค่า d ได้แล้วต่อไปหาค่าของ \(a_{1}\) \(\quad\) บ้างครับวิธีการหาก็หาจากสิ่งที่โจทย์กำหนดมาให้
จาก \(a_{3}=a_{1}+(3-1)d\) \(\quad\) เรารู้ค่าของ \(a_{3}\) \(\quad\) และรูัค่าของ d ดังนั้นสามารถหาค่าของ \(a_{1}\)
จะได้
\(20=a_{1}+(3-1)d\) \(\quad\) เรารู้ว่า d=3 แทนค่าลงไปเลยคับจะได้
\(20=a_{1}+2(3)\)
\(a_{1}=20-6=14\)
ต่อไป \(a_{1}\) \(\quad\) รู้แล้ว d ก็รู้แล้ว หาค่า พจน์ที่ 25 ได้แล้ว
จาก
\(a_{25}=a_{1}+(n-1)d\) \(\quad\) แทนค่าสิ่งที่เรารู้ลงไปเลยคับจะได้
\(a_{25}=14+(25-1)3\)
\(a_{25}=14+72\)
\(a_{25}=86\)
ตอบ \(a_{25}=86\)