ฟังก์ชันลอการิทึม...ฟังชื่อก็แปลกๆ มันคือฟังก์ชันอะไรมาจากไหนกันเนียะ...ใครเป็นคนตั้งชื่อขึ้นมา...อันนี้

ผมก็ไม่รู้...ถ้าอยากรู้ลองไปถามพี่กูเกิลดูน่ะคับ...เราลองมาดูกันว่าเจ้าลอการิทึม...มันคือฟังก์ชันอะไรกันแน่

ฟังก์ชันลอการิทึม....มันเป็นฟังก์ชันผกผัน(inverse)ของฟังก์ชันเอ็กซ์โพนเนนเชียล...คับ...จะขอเท้าความถึงฟังก์ชันเอ็กซ์โพเนนเชียลหน่อยน่ะคับ...นิยามของฟังก์ชันเอ็กซ์โพเนนเชียลคือ...

นิยาม ฟังก์ชันเอ็กซ์โพเนนเชียลคือ ฟังก์ชัน

\(f=\{(x,y)\in R \times R^{+} \mid y=a^{x} ,a>0,a\neq  1\}\)

ตัวอย่างของฟังก์ชันเอ็กซ์โพเนนเชียล...เช่น

\(y=2^{x}\)

ถ้าให้ \(x=1\) จะได้ \(y=2^{1}=2\)

ถ้าให้ \(x=2\) จะได้ \(y=2^{2}=4\)

ถ้าให้ \(x=3\) จะได้ \(y=2^{3}=8\)

ถ้าให้ \(x=4\) จะได้ \(y=2^{4}=16\)

รูปข้างล่างเป็นการส่งของฟังก์ชันเอ็กซ์โพเนนเชียล  \(y=2^{x}\) น่ะคับ

ที่นี้มาดูการส่งของฟังก์ชันที่เป็นฟังก์ชันผกผันของ  \(y=2^{x}\)

ฟังก์ชันที่เป็นฟังก์ชันผกผันของ \(y=2^{x}\)  จะมีการส่งแบบนี้น่ะครับ ตามรูปด้านล่างเลยครับ จะส่งสลับกัน...คับ จะเอา range ของฟังก์ชัน \(y=2^{x}\) มาเป็น domain ของตัวเอง และเอา domain ของ \(y=2^{x}\)  มาเป็น range ของตัวเอง

หรือวิธีดูง่ายๆ ก็คือ

ถ้าเรามีฟังก์ชันๆหนึ่งยกตัวอย่างเช่น  \(y=2^{x}\)  ถ้าเราต้องการหาผกผันของฟังก์ชันนี้วิธีการหาก็ง่ายๆครับซึ่งผกผันของฟังก์ชันนี้คือ \(x=2^{y}\) (เปลี่ยน y เป็น x  และ เปลี่ยน x เป็น y)

นั่นก็คือ

ผกผันของฟังก์ชัน  \(y=2^{x}\) คือ \(x=2^{y}\)

ผกผันของฟังก์ชัน \(y=\left(\frac{1}{4}\right)^{x}\) คือ \(x=\left(\frac{1}{4}\right)^{y}\)

ฟังก์ชันลอการิทึมเป็นฟังก์ชันผกผันของฟังก์ชันเอ็กซ์โพเนนเชียล

จากนิยามของฟังก์ชันเอ็กซ์โพเนนเชียลคือ

\(f=\{(x,y)\in R \times R^{+} \mid y=a^{x} ,a>0,a\neq  1\}\)

ดังนั้น เราจะได้นิยามของฟังก์ชันลอการิทึม คือ

\(f=\{(x,y)\in R^{+} \times R \mid x=a^{y} ,a>0,a\neq  1\}\)

แต่จากจากนิยามของฟังก์ชันลอการิทึม ตรงเงื่อนไขของฟังก์ชันคือ  \(x=a^{y}\) เขาไม่นิยมเขียนแบบนี้แต่เขานิยมเขียนให้อยู่ในรูปแบบ \(y=f(x)\)(พูดง่ายๆก็คือไม่นิยมเขียนให้อยู่ในรูปแบบ เอ็กซ์เท่ากับ(x=) แต่นิยมเขียนในรูปแบบ  วายเท่ากับ(y=) )

นักคณิตศาสตร์จึงตกลงกันว่าถ้าอย่างนั้น เราก็แปลงเจ้า \(x=a^{y}\) ให้อยู่ในรูปแบบใหม่แล้วกัน ซึ่งผลสรูปออกมาเป็นอย่างนี้คับ

\(x=a^{y}\)  แปลงกายใหม่ได้เป็น \(y=\log_{a}x\) (อ่านว่า วายเท่ากับล็อกเอ็กซ์ฐานเอ)

พูดง่ายๆก็คือเจ้า  \(y=\log_{a}x\) กับ  \(x=a^{y}\) คือตัวเดียวกันแต่เจ้าตัว \(x=a^{y}\) เขาไม่นิยมใช้ แต่นิยมใช้เจ้าตัว  \(y=\log_{a}x\) แทน...คับ

ดังนั้นเราจึงได้นิยามของฟังก์ชันลอการิทึมใหม่คือ

\(f=\{(x,y)\in R^{+} \times R \mid y=\log_{a}x ,a>0,a\neq  1\}\)

จากที่กล่าวมาแล้วน่ะว่า  \(x=a^{y}\) และ \(y=\log_{a}x\) มีความหมายอย่างเดียวกันดังนั้น

ถ้าเรามีสมการเลขยกกำลังที่อยู่ในรูปแบบ  \(x=a^{y}\) ก็จะสามารถเปลี่ยนให้อยู่ในรูปแบบของสมการลอการิทึม  \(y=\log_{a}x\)  ได้ ยกตัวอย่างเช่น

\( 49=7^{2}\) สามารถเขียนให้อยู่ในรูปลอการิทึมได้เป็น \(2=\log_{7}49\)  งงไหมจ๊ะ...นักเรียน  ถ้างงดูอธิบายข้างล่าง...นี่

จากสมการ \( 49=7^{2}\) นำไปเทียบกับสมการ\(x=a^{y}\) จะได้ x=49 , a=7 และ y=2  แทนค่า x,y และ a ลงในสมการ \(y=\log_{a}x\) จะได้ \(2=\log_{7}49\) มันเป็นเยี่ยงนี้...น่ะ

\(81=9^{2}\) สามารถเขียนให้อยู่ในรูปลอการิทึมได้เป็น \(2=\log_{9}81\)

\(100=10^{2}\) สามารถเขียนให้อยู่ในรูปลอการิทึมได้เป็น \(2=\log_{10}100\)

\(2=4^{\frac{1}{2}}\)  สามารถเขียนให้อยู่ในรูปลอการิทึมได้เป็น \(\frac{1}{2}=\log_{4}2\)

\(9=\left(\frac{1}{3}\right)^{-2}\) สามารถเขียนให้อยู่ในรูปลอการิทึมได้เป็น \(-2=\log_{\frac{1}{3}}9\)

หวังว่าทุกคน...คงพอเข้าใจ...สรุปฟังก์ชันลอการิทึมมันก็คือผกผัน(inverse)ของฟังก์ชันเอ็กซ์โพเนนเชียลนี่เอง...คับ

คลิปข้างล่างนี้เป็นตัวอย่างการทำแบบฝึกหัด 1.5 คณิตศาสตร์ ม.5 เพิ่มเติม ข้อ 1 ใหญ่และ ข้อ 2 ใหญ่