วันนี้มีอารมณ์ศิลปิน ฟังเพลงไปด้วย เขียนบทความไปด้วย และหิวข้าว บอกตามตรงขี้เกียจออกไปซื้อข้าว
กิน ขี้เกียจมากท้องร้องบอกว่าหิวข้าว แต่ขาบอกว่าหิวก็หิวไปฉันขี้เกียจเดิน แต่สุดท้ายแล้ว ขาก็ต้องยอมจำนนต่อการหิวของท้อง เพราะอย่างว่าแหล่ะครับ กองทัพต้องเดินด้วยท้อง ไม่ใช่เดินด้วยขาสักหน่อย โอ้โหประโยคนี้คมบาดใจมาก คิดได้ไงเนียะ 555 ก่อนจะเขียนบทความขอนอกเรื่องหน่อยแล้วกันเขียนอะไรไปเรื่อยเปื่อยก่อน ต้องบิ้วอารมณ์ก่อน พ่อศิลปินใหญ่ ทำอะไรต้องทำด้วยใจบวกกับอารมณ์ ผสมกับความบ้า ไปซื้อข้าวกินก่อนน่ะคับ เดียวกลับมาเขียนต่อๆๆ
เรื่องระบบสมการนี้ เป็นเนื้อหาวิชาคณิตศาสตร์เพิ่มเติม ในระดับชั้นม.3 ในเทอม 2 เรื่องนี้เป็นเรื่องเกี่ยวกับการแก้ระบสมการเพื่อคำตอบของระบบสมการ ซึ่งในการหาคำตอบของระบบสมการนั้น มีอยู่สองวิธีหลักๆ น่ะ บางคนอาจจะบอกว่ามีหลายวิธีแต่สำหรับผมแล้ว 2 วิธีก็เพียงพอแล้วสำหรับในการหาคำตอบของระบบสมการในระดับชั้น ม.3 นี้
วิธีที่ 1 คือ การแก้ระบบสมการโดยการแทนค่าด้วยตัวแปร
วิธีที่ 2 คือ การแก้ระบบสมการโดยการกำจัดตัวแปร
พยายามอ่านแล้วจับคอนเซปต์มันให้ได้แล้วกันคับ มันไม่ได้ยากเลย จับจุดให้ได้น่ะ ผมจะพยายามเขียนให้ละเอียดที่สุดเริ่มกันเลยดีกว่า
เดี๋ยวก่อน ในหนังสือเรียนคณิตศาสตร์เพิ่มเติม ม.3 เล่มสอง ของ สสวท. จะเห็นว่าคำอยู่สองคำที่อยากจะแนะนำให้พวกเราคนอ่านบทความนี้ได้รู้จัก ก็คือ
1. สมการเชิงเส้น
สมการเชิงเส้นคือ สมการที่มีรูปแบบทั่วไปดังนี้ \(Ax+By+C=0\)
ยกตัวอย่างเช่น
\(5x+4y+3=0\)
\(4x-7y-2=0\)
\(5x+2=4y\)
\(8x=2\)
\(4y=16\)
พูดง่ายๆวิธีการดูว่าสมการนั้นๆเป็นสมการเชิงเส้นหรือเปล่าก็คือดูที่เลขชี้กำลังของตัวแปร x หรือ ตัวแปร y เลขชี้กำลังต้องเป็น 1 เท่านั้นคับ
2. สมการดีกรีสอง
สมการดีกรีสองคือสมการที่มีรูปแบบทั่วไปคือ \(Ax^{2}+By^{2}+Cxy+Dx+Ey+F=0\)
ตัวอย่างเช่น
\(3x^{2}+2y^{2}+8xy+3x+9y+2=0\)
\(3x^{2}+4y^{2}+3x=0\)
\(3y^{2}+x^{2}=12\)
\(y^{2}+3=0\)
พูดง่ายๆวิธีการดูว่าสมการนั้นๆเป็นสมการดีกรีสองหรือเปล่าให้ดูที่เลขชี้กำลังของ x หรือ y คือเลขชี้กำลังสูงสุดของ x หรือ y ต้องเป็นสองคับ
จงแก้ระบบสมการต่อไปนี้
1. \(x+y=2\)
\(y-x^{2}=0\)
วิธีทำ ขั้นตอนแรกเราต้องตั้งชื่อให้แต่ละสมการก่อน เพื่อสะดวกในการอ้างอิงไปใช้งาน
\(x+y=2 \) ชื่อว่าสมการ..............(1)
\(y-x^{2}=0\) ชื่อว่าสมการ...........(2)
จากสมการที่ (1) คือ \(x+y=2\) ทำการโมดิฟายปรับเปลี่ยนย้ายข้างสมการที่ (1) นิดหนึ่งจะได้
\(y=2-x\)
ตอนนี้เรารู้ค่าของ y คือ y มีค่าเท่ากับ 2-x
ต่อไปเราก็ แทน y ด้วย 2-x ในสมการที่ (2)
สมการที่ (2) คือสมการนี้ \(y-x^{2}=0\) ตรงไหนมี y เราก็จัดการเปลี่ยนให้เป็น 2-x ก็จะได้
\(2-x-x^{2}=0\) ต่อไปจัดรูปสมการใหม่นิสหนึ่ง จัดโดยเรียงจากพจน์ที่มีเลขชี้กำลังสูงสุดไปหาต่ำสุดก็จะได้
\(-x^{2}-x+2=0\) จะเห็นว่าสัมประสิทธิ์หน้าเอ็กซ์ยกกำลังสองเป็นจำนวนลบ ซึ่งผมไม่ชอบเลยลบเนียะ ผมอยากเปลี่ยนให้มันเป็นบวก ผมก็เลยเอา (-1) คูณเข้าทั้งสองฝั่งของสมการ ก็จะได้
\((-1)(-x^{2}-x+2)=0(-1)\)
\(x^{2}+x-2=0\)
ขั้นตอนต่อไปเราก็ต้องใช้ความรู้เรื่องการแยกตัวประกอบมาช่วยในแยกตัวประกอบของ \(x^{2}+x-2=0\)
ต้องแยกออกมาให้ได้น่ะคับ ก็จะได้
\(x^{2}+x-2=0\)
\((x+2)(x-1)=0\) จากตรงนี้จะเห็นว่า (x+2) คูณกับ (x-1) แล้วมีค่าเท่ากับ 0 สองพจน์คูณกันแล้วได้ 0 ก็หมายความว่า
\(x+2=0\) หรือ \(x-1=0\)
จาก \(x+2=0\) จะได้
\(x=0-2\)
\(x=-2\)
และจาก \(x-1=0\) จะได้
\(x=0+1\)
\(x=1\)
นั่นคือตอนนี้ เราได้ค่า x สองค่า คือ x=-2 และ x=1 ต่อไปหาค่า y คับ เขียนมาถึงตรงนี้ความรู้สึกมันบอกตัวเองว่าเขียนยืดยาวเกินไปกลัวเหลือเกินว่า จะอ่านแล้วไม่เข้าใจกัน
ต่อไปหาค่า y น่ะ
แทน x ด้วย -2 ในสมการที่ (1) หรือ สมการที่ (2) ก็ได้น่ะเลือกเอาสมการที่ง่ายๆ ผมเลือกแทนลงไปในสมการที่ (1) จะได้
\(-2+y=2\)
\(y=2+2\)
\(y=4\)
นั่น ถ้า x=-2 จะได้ y=4
ต่อไป แทน x ด้วย 1 ในสมการที่ (1) จะได้
\(1+y=2\)
\(y=2-1\)
\(y=1\)
นั่นคือ ถ้า x=1 จะได้ y=1
ตอบ คำตอบของระบบสมการนี้คือ (-2,4) และ (1,1)
วันนี้เอาแค่นี้ก่อนน่ะคับ พยายามอ่านแล้วจับคอนเซปต์มันให้ได้น่ะคับ สำหรับข้อ 1 ผมแก้ระบบสมการโดยการแทนค่าด้วยตัวแปรน่ะคับ คือ แทน y ด้วย 2-x พอแทนเสร็จแล้วก็จะได้ค่า x แล้วเราก็นำค่า x ที่เราได้ไปแทนค่ากลับอีกทีในสมการที่ (1) หรือ (2) เพื่อหาค่า y ออกมาอีกทีหนึ่งคับ ...โชคดีคับ เดี๋ยวข้อ 2 จะมาเขียนต่อพรุ่งนี้คับ
ต่อไปเริ่มทำข้อสองน่ะคับ
2. \(x^{2}-y=0\)
\(2x-y=1\)
วิธีทำ ตั้งชื่อให้แต่ละสมการก่อนน่ะคับ
\(x^{2}-y=0\) ชื่อว่าสมการที่ (1)
\(2x-y=1\) ชื่อว่าสมการที่ (2)
ข้อสังเกตน่ะคับ จากสมการที่ (1) และ (2) มีพจน์ที่เหมือนกันคือ -y ดังนั้นถ้าจับสมการที่ (1) ลบ สมการที่ (2) ทั้งสองพจน์นี้ก็จะหักล้างกันเป็นศูนย์นั่นคือ ตัวแปร y หมดไป เรียกว่า การแก้ระบบสมการโดยการกำจัดตัวแปรนั่นเองคับ เริ่มเลยน่ะ
นำสมการที่ (1) - สมการที่ (2) จะได้
\((x^{2}-y)-(2x-y)=0-1\) นำฝั่งซ้ายของสมการที่(1)ลบกับฝั่งซ้ายของสมการที่(2) และ นำฝั่งขวาของสมการที่(1)ลบกับฝั่งขวาของสมการที่ (2) น่ะคับ ลบกันเลยคับ
\(x^{2}-y-2x+y=-1\) เอาเครื่องหมายลบกระจายเข้าไปข้างในวงเล็บคับและจากบรรทัดนี้จะเห็นว่า -y+y มีค่าเท่ากับ 0 นั่นคือ ตัวแปร y หายไปหรือว่าหมดไป ต่อไปก็จะได้
\(x^{2}-2x=-1\) จุดรูปสมการใหม่นิดหนึ่ง คือทำให้ฝั่งขวาของสมการเป็น 0 ก็จะได้
\(x^{2}-2x+1=0\) ต่อไปก็ทำการแยกตัวประกอบคับ แยกเป็นสองวงเล็บคูณกันคับเคยเรียนมาแล้วน่ะไม่ขออธิบายตรงนี้ ก็จะได้
\((x-1)(x-1)=0\) จากบรรทัดนี้ก็จะได้
\(x-1=0\) แก้สมการหาค่าของ x ต่อจะได้
\(x=0+1\)
\(x=1\)
นั่นคือ เราได้ค่าของ x แล้ว คือ x=1 ต่อไปหาค่า y คับ
แทน x ด้วย 1 ในสมการที่ (2) จะได้
\(2(1)-y=1\)
\(2-y=1\)
\(-y=1-2\)
\(-y=-1\)
นำ (-1) คูณเข้าทั้งสองข้างของสมการจะได้
\((-1)(-y)=(-1)(-1)\)
\(y=1\)
นั่นคือ ถ้า x=1 จะได้ y=1 เช่นกัน
ตอบ คำตอบของระบบสมการคือ (1,1)
3.\(x^{2}+y^{2}=25\)
\(3x-4y=0\)
วิธีทำ ตั้งชื่อให้แต่ละสมการก่อนคับ
\(x^{2}+y^{2}=25\) ชื่อว่าสมการที่ (1)
\(3x-4y=0\) ชื่อว่าสมการที่ (2)
ข้อนี้จะเห็นว่าทั้งสองสมการ ไม่มีพจน์ที่เหมือนกันเลย ฉนั้นใช้วิธีการกำจัดตัวแปรไม่ได้เลย แต่ใช้วิธีการแทนค่าได้คับ
จากสมการที่ (2) คือ
\(3x-4y=0\) ทำการย้ายข้างจัดสมการนิดหนึ่งคับ ก็จะได้
\(-4y=0-3x\)
\(-4y=-3x\)
\(y=\frac{-3x}{-4}\)
\(y=\frac{3x}{4}\) นั่นคือตอนนี้เรารู้ค่าของ y แล้วว่ามีค่าเท่ากับ \(\frac{3x}{4}\)
ต่อไปแทน y ด้วย \(\frac{3x}{4}\) ในสมการที่ (1) จะได้
\(x^{2}+\left(\frac{3x}{4}\right)^{2}=25\)
\(x^{2}+\frac{9x^{2}}{16}=25\)
\(\frac{16x^{2}+9x^{2}}{16}=25\)
\(\frac{25x^{2}}{16}=25\)
\(25x^{2}=25\times 16\)
\(x^{2}=\frac{25\times 16}{25}\) ตัดทอนเอาเองน่ะ
\(x^{2}=16\) อะไรเอ่ยยกกำลังสองแล้วได้ 16
\(x=\pm 4\)
ตอนนี้เราได้ค่า x สองค่า คือ x=4 และ x=-4 ต่อไปหาค่า y คับ
แทน x ด้วย 4 ในสมการที่ (2) จะได้
\(3(4)-4y=0\)
\(12-4y=0\)
\(-4y=-12\)
\(y=\frac{-12}{-4}\)
\(y=3\)
นั่นคือ ถ้า x=4 จะได้ y=3
แทน x ด้วย -4 จะได้
\(3(-4)-4y=0\)
\(-12-4y=0\)
\(-4y=12\)
\(y=\frac{12}{-4}\)
\(y=-3\)
นั่นคือ x=-4 จะได้ y=-3
ตอบ คำตอบของระบบสมการคือ (4,3) และ (-4,-3) แก้ไขให้แล้วน่ะคับข้อ 3
จากที่ผมยกตัวอย่างให้ดูข้างต้นเป็นการแก้ระบบสมการซึ่งเป็นระบบสมการที่ประกอบไปด้วยสมการเชิงเส้นและสมการดีกรีสอง
ต่อไปที่จะยกตัวอย่างให้ดูเป็นการแก้ระบบสมการซึ่งเป็นระบบสมการที่ประกอบไปด้วยสมการดีกรีสองทั้งสองสมการ ไม่ว่าระบบสมการจะประกอบไปด้วยสมการอะไรก็ตามวิธีในการแก้ระบบสมการก็ใช้วิธีการเดิมๆ คือ
1.วิธีการกำจัดตัวแปร
2.วิธีการแทนค่าด้วยตัวแปร
หากเราอ่านแล้วพยายามทำความเข้าใจไปด้วยจะเห็นว่าเรื่องนี้เป็นเรื่องที่ง่ายมากเลยคับ และสนุกและท้าทาย พยายามทำเองให้ได้คับ ไม่ต้องกลัวผิดน่ะ ทำตามความเข้าใจเรา...ไม่ต้องกลัว...ต้องมั่นใจว่าเราทำตามหลักการแล้ว...ยังไงก็ต้องถูกแน่นอน... ผมจะขอยกตัวอย่างให้พวกเราได้อ่านและทำความเข้าใจกันน่ะคับ...
1.จงแก้ระบบสมการต่อไปนี้
1.1 \(x^{2}+y^{2}=4\)
\(4x^{2}+9x^{2}=36\)
วิธีทำ แน่นอนคับต้องตั้งชื่อให้แต่ละสมการก่อนคับ
\(x^{2}+y^{2}=4\) สมการที่ (1)
\(4x^{2}+9x^{2}=36\) สมการที่ (2)
ผมจะเอา 4 คูณเข้ากับสมการที่ (1) น่ะ ทำไมผมถึงเอา 4 คูณเข้าผมจะยังไม่เฉลยอยากให้คิดตามว่าทำไม ตัวเลขมีมากมายทำไมต้องเอา 4 คูณเข้าด้วย
นำ 4 \(\times \) (1) จะได้
\(4(x^{2}+y^{2})=4(4)\) เวลาคูณต้องคูณทั้งสองข้างของสมการน่ะ คูณเข้าเลยน่ะจะได้
\(4x^{2}+4y^{2}=16\) ตั้งชื่อให้ใหม่ชื่อว่าสมการที่ (3)
จะเห็นว่าสมการที่ (3) กับสมการที่ (2) มีพจน์ที่เหมือนกันคือ \(4x^{2}\) ที่นี้รู้หรือยังว่าทำไมผมถึง เอา 4 คูณเข้ากับสมการที่ (2) เพราะว่าผมจะทำให้มีพจน์ที่เหมือนกัน พอมีพจน์ที่เหมือนกันแล้วผมจะจับสมการทั้งสองลบกัน พอลบกันพจน์ที่เหมือนกันลบกันก็จะได้เป็น 0 นั่นคือเราสามารถกำจัดตัวแปรออกได้ มาดูวิธีการทำต่อกันดีกว่าคับ...
นำ สมการที่ (2) - สมการที่ (3) จะได้
\((4x^{2}+9y^{2})-(4x^{2}+4y^{2})=36-16\)
ตรงนี้ไม่งงน่ะ คือนำฝั่งซ้ายของของสมการที่(2)ลบกับฝั่งซ้ายของสมการที่(3) และนำฝั่งขวาของสมการที่(2)ลบกับฝั่งขวาของสมการที่(3) จะได้
\(4x^{2}+9y^{2}-4x^{2}-4y^{2}=20\) เอาลบคูณเข้าไปข้างในวงเล็บน่ะ จะเห็นว่าบรรทัดนี้ สี่เอ็กซ์กำลังสองลบกับสี่เอ็กซ์กำลังสองเหลือศูนย์นั่นคือตัวแปรเอ็กซ์หายไป ต่อไปเราก็แก้สมการหาค่าของตัวแปรวายได้
\( 9y^{2}-4y^{2}=20\)
\(5y^{2}=20\)
\(y^{2}=\frac{20}{5}\)
\(y^{2}=4\)
\(y=\sqrt{4}\)
\(y=\pm 2\)
นั่นคือได้ค่าวายสองค่าคือ y=2 และ y=-2 ต่อไปหาค่า x คับ ไม่ยากแล้ว....
แทน y ด้วย 2 ในสมการที่ (1) จะได้ [แทนในสมการไหนก็ได้น่ะ (1)หรือ(2) หรือ (3) ก็ได้เลือกเอาสมการที่ไม่ซับซ้อนแล้วกัน]
\(x^{2}+2^{2}=4\)
\(x^{2}+4=4\)
\(x^{2}=4-4\)
\(x^{2}=0\)
\(x=0\)
นั่นคือ ถ้า y=2 จะได้ x=0 น่ะ
แทน y ด้วย -2 ในสมการที่ (1) จะได้
\(x^{2}+(-2)^{2}=4\)
\(x^{2}+4=4\)
\(x^{2}=4-4\)
\(x^{2}=0\)
\(x=0\)
นั่นคือ ถ้า y=-2 จะได้ x=0
ตอบ คำตอบของระบบสมการคือ (0,2)และ(0,-2)
เป็นไงบ้างคับ ไม่ยากน่ะผมว่า ง่ายๆคับ พยายามอ่านทำความเข้าใจ จับจุดให้ได้น่ะ
1.2 \(3x^{2}+y^{1}=15\)
\(11x^{2}-2y^{2}=4\)
วิธีทำ
\(3x^{2}+y^{2}=15\) สมการที่ (1)
\(11x^{2}-2y^{2}=4\) สมการที่ (2)
นำ 2 \(\times \) สมการที่ (1) จะได้
\(2(3x^{2}+y^{2})=2(15)\)
\(6x^{2}+2y^{2}=30\) ตั้งชื่อว่าสมการที่ (3)
จะเห็นว่าสมการที่ (2) กับ สมการที่ (3) มีพจน์
ถ้าขี้เกียจอ่านดูวิดีโอก็ได้น่ะคับ