การแก้ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปรจริงแล้วไม่ยากน่ะคับ เป็นเรื่องที่ง่ายๆ แต่เวลาอ่านเราต้องหัดสังเกต
และคิดตามว่าทำไมเขาถึงทำอย่างนั้น ทำไมต้องเอาสองมาคูณสมการนี้ ทำไมถึงเอาสมการนี้ลบด้วยสมการโน้น เราต้องหัดสังเกตและคิดตามว่าทำไม ถ้าเรารู้เหตุผลแล้วทำไม ถึงต้องทำเช่นนั้น มันจะทำให้เรารู้แนวทางในการทำโจทย์ ต่อไปไม่ว่าโจทย์จะออกมาลักษณะไหนเราก็จะทำได้ เพราะรู้แนวทางแล้ว...ต่อไปนี้ผมจะขอยกตัวอย่างการแก้ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร เป็นไกด์ไลน์ให้ดูน่ะ ...พยายามอ่านให้เข้าใจ...และคิดตามไปด้วยน่ะ...ผมจะเริ่มจากข้อที่ง่ายๆและจะเริ่มเพิ่มความยากขึ้นเรื่อยๆน่ะ เรื่องนี้ผมได้
เขียนให้อ่านหลายตอนแล้วน่ะ ส่วนใครที่พึ่งเข้ามาอ่าน แนะนำให้เปิดอ่านตามลิงค์นี้ก่อนน่ะ ผมเขียนปูพื้นให้อย่างละเอียดเลย ยังไงก็ลองไปอ่านดูน่ะเผื่อจะเข้าใจง่ายขึ้น และทำข้อสอบได้ การแก้ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปรตอนที่ 1 การแก้ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปรตอนที่ 2
การแก้ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปรมีหลายวิธีน่ะคับ แต่ผมจะยกตัวอย่างให้ดูสัก 2 วิธี น่ะ แค่สองวิธีก็น่าจะเพียงพอที่จะทำข้อสอบได้แล้ว ที่สำคัญก็คือเวลาเจอโจทย์นักเรียนต้องเลือกให้ถูกว่าจะใช้วิธีไหนดีในการที่จะแก้โจทย์
วิธีที่ 1 ผมขอเรียกว่า วิธีแทนค่า
วิธีที่ 2 ผมขอเรียนกว่า วิธีการกำจัดตัวแปร
มาดูกันเลยคับ
1.จงแก้ระบบสมการต่อไปนี้
1.1
\( x-2y=9\)
\(4x-3y=6\)
วิธีทำ ก่อนอื่นเราต้องตั้งชื่อให้กับสมการก่อนน่ะ
ให้ \(x-2y=9\) ชื่อว่าสมการที่ (1)
\(4x-3y=6\) ชื่อว่าสมการที่ (2)
ต่อไปให้ไปดูที่ (1) คือดูที่
\(x-2y=9\) ลองย้ายข้างสมการดูน่ะ ให้ x มันอยู่คนเดียว จะได้
\(x=9+2y \) เราให้สมการที่เกิดจากการย้ายข้างนี้ชื่อว่าสมการที่ (3) จากบรรทัดนี้เรารู้อะไรบ้าง...เรารู้ว่า x มันเท่ากับ เก้าบวกสองวาย ต่อไปเราก็นำค่า x ที่เรารู้นี้ไปแทนค่าในสมการที่ (2)
จากสมการที่ (2) คือ
\(4x-3y=6\) จากที่เรารู้ว่า x=9+2y ดังนั้นเราก็แทน x ในสมการที่(2)นี้ด้วย 9+2y จะได้
\(4(9+2y)-3y=6\) เอา 4 คูณเข้าไปในวงเล็บ
\(36+8y-3y=6\)
\(5y+36=6\)
\(5y=6-36\)
\(5y=-30\)
\(y=\frac{-30}{5}\)
\(y=-6\)
เมือได้ค่าของ y แล้วต่อไปก็หาค่าของ x คับ
แทน y ด้วย -6 ในสมการที่(1) หรือที่(2) หรือที่(3) ก็ได้น่ะเลือกมาสักหนึ่งสมการคับ ผมเลือกสมการที่(1)แล้วกันคับจะได้
จากสมการที่(1) คือ \(x-2y=9\) แทน y ด้วย -6 จะได้
\(x-2(-6)=9\)
\(x+12=9\)
\(x=9-12\)
\(x=-3\)
ดังนั้นคำตอบของระบบสมการนี้คือ \(x=-3\)และ \(y=-6\)
สาระสำคัญ ที่อยากบอกและอยากชี้ให้เห็น ให้นักเรียนอ่านดีๆแล้วคิดตามน่ะ
ข้อที่1.1 นี้ ผมใช้วิธีที่ 1 คือวิธีแทนค่า ในการแก้โจทย์ข้อนี้ หลายคนคงสงสัยว่าแทนค่ายังไง...แทนค่าอย่างนี้คับ
จากสมการที่ (1) คือ \(x-2y=9\) ถ้าเราลองย้ายสมการดูน่ะเราก็จะได้
\(x=9+2y\) จากบรรทัดนี้คือเรารูู้ค่าของ x ไง คือเรารู้ว่าเอ็กซ์เท่ากับเก้าบวกสองวาย เราก็นำค่าของ x ที่เรารู้นี่แหล่ะไปแทนค่าลงในสมการที่(2) นี่แหละเป็นที่ไปที่มาของวิธีที่เรียกว่า วิธีแทนค่า พอแทนค่าแล้วก็จะได้ ดังนี้
จากสมการที่ (2) คือ \(4x-3y=6\) แทน x ด้วย 9+2y จะได้
\(4(9+2y)-3y=6\) จากบรรทัดนี้พอเราแทน x ด้วย 9+2y ตัวแปร x หายไปแล้วไม่มีแล้วเหลือแค่ตัวแปรวายดังนั้นเราก็สามารถแก้สมการหาค่า y ได้ อธิบายมาถึงตรงนี้แล้ว คิดว่าหลายคนคงเข้าใจมากขึ้นน่ะ...ต่อไปก็จะขอยกตัวอย่างการแก้ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร โดยใช้วิธีที่ 2 คือวิธีการกำจัดตัวแปร
1.2
\(2x+4y=12\)
\(2x+8y=10\)
วิธีทำ ผมจะแก้โจทย์ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปรข้อนี้โดยใช้วิธีที่ 2 คือวิธีการกำจัดตัวแปร ทำไมถึงใช้วิธีนี้...มาดูกันเลย
\(2x+4y=12\) ให้ชื่อว่าสมการที่(1)
\(2x+8y=10\) ให้ชื่อว่าสมการที่(2)
จากสมการที่(1)และสมการที่(2) จะเห็นว่ามีพจน์ที่เหมือนกันคือ 2x ถ้าเรานำสมการที่(1)ลบกับสมการที่(2) ก็จะเกิดเหตูการณ์ 2x-2x ขึ้น นั่นคือ 2x-2x=0 เมื่อมันเป็นศูนย์ตัวแปร x ก็จะหายไปใช่ป่าว นี่แหล่ะจึงเป็นที่ไปที่มาของวิธีที่เรียกว่า การกำจัดตัวแปร
มาดูวิธีการทำข้อนี้กันเลยคับ
นำสมการที่(1)-สมการที่(2) จะได้ การนำสมการที่หนึ่งลบสมการที่สองก็คือเอาฝั่งซ้ายของสมการที่หนึ่งลบกับฝั่งซ้ายของสมการที่สอง และ เอาฝั่งขวาของสมการที่หนึ่งลบกับฝั่งขวาของสมการที่สองคับ
จะได้
\((2x+4y)-(2x+8y)=12-10\) เอาลบคูณเข้าไปในวงเล็บคับ จะได้
\(2x+4y-2x-8y=2\) จัดพจน์นิดหนึ่งคับ
\(2x-2x+4y-8y=2\)
\(0-4y=2\) เห็นไหม 2x-2x=0 ตัวแปร x หายไปแล้ว นี่แหล่ะเรียกว่าการจำจัดตัวแปร
\(-4y=2\)
\(y=\frac{2}{-4}\)
\(y=-\frac{1}{2}\)
ได้ค่า y แล้วต่อไปก็ค่า x บ้าง วิธีการหาค่า x ทำได้ดังนี้
แทน y ด้วย \(-\frac{1}{2}\)ในสมการที่(1)หรือ(2) ก็ได้เลือกมาสักหนึ่งสมการผมเลือกสมการที่(1)แล้วกัน
จากสมการที่(1)คือ \(2x+4y=12\) แทน y ด้วย \(-\frac{1}{2}\) จะได้
\(2x+4(-\frac{1}{2})=12\)
\(2x-2=12\)
\(2x=12+2\)
\(x=\frac{14}{2}\)
\(x=7\)
ดังนั้นคำตอบของระบบสมการคือ \(x=7\)และ\(y=-\frac{1}{2}\)
เป็นไงบ้างคับ การแก้สมการโดยวิธีการกำจัดตัวแปร...หวังว่านักเรียนทุกคนคงเข้าใจน่ะ...สู้ๆ ไม่เข้าใจถามได้
1.3
\(\frac{x-3}{4y}=\frac{1}{2}\)
\(\frac{2x+3}{2y}=\frac{1}{3}\)
วิธีทำ ให้
\(\frac{x-3}{4y}=\frac{1}{2}\) เป็นสมการที่ (1)
\(\frac{2x+3}{2y}=\frac{1}{3}\) เป็นสมการที่ (2)
จัดรูปสมการที่(1) ใหม่ให้มันดูเรียบร้อยกว่าที่เป็นอยู่นิดหนึ่งคับ
จากสมการที่(1)คือ \(\frac{x-3}{4y}=\frac{1}{2}\) จัดใหม่นิดหนึ่ง
\(x-3=\frac{1}{2}(4y)\) ตัดทอนกันได้น่ะ
\(x-3=2y\) จัดรูปเสร็จแล้วได้สมการที่เรียนร้อยขึ้นตั้งชื่อให้มันว่าสมการที่(3)
ต่อไปก็จัดรูปสมการที่(2)ใหม่ให้มันดูเรียบร้อยกว่าที่เป็นอยู่นิดหนึ่ง
จากสมการที่(2)คือ \(\frac{2x+3}{2y}=\frac{1}{3}\) จัดใหม่นิดหนึ่งจะได้
\(2x+3=\frac{1}{3}(2y)\) จัดรูปเสร็จแล้วให้ชือว่าสมการที่ (4)
นำ 3 คูณสมการที่(4) ทำไมถึงเอา 3 คูณคิดดูน่ะ จะได้
\(3(2x+3)=3(\frac{2y}{3})\) ตัดทอนได้
\(6x+9=2y\) เอา 3 คูณเข้าไปแล้วได้สมการใหม่ให้ชื่อว่าสมการที่ (5)
นักเรียนสังเกตสมการที่(3) กับสมการที่(5) น่ะมีพจน์เหมือนกันคือ 2y ถ้าจับสมการที่ (3)-(5) ตัวแปร y จะหายไปหรือว่าถูกกำจัดไปใช่ป่าว...
นำ(3)-(5) จะได้
\((x-3)-(6x+9)=2y-2y\)
\(x-3-6x-9=0\)
\(x-6x-3-9=0\)
\(-5x-12=0\)
\(-5x=0+12\)
\(x=-\frac{12}{5}\)
ได้ค่า x แล้วน่ะ ค่า y หาเองน่ะคับ เขียนมาถึงตรงนี้หวังว่าหลายๆคนคงจะเข้าใจน่ะ วิธีการแก้ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปรหลักๆแล้วก็มีแค่สองวิธีเท่านั้นแหล่ะที่ได้กล่าวมาแล้วข้างต้นก็คือ
วิธีที่ 1 วิธีแทนค่า
วิธีที่ 2 วิธีกำจัดตัวแปร
ก็ต้องหัดทำโจทย์เยอะๆคับ...จึงจะเกิดความชำนาญ...ขอให้ทุกคนโชคดี...หวังว่าบทความนี้จะเป็นประโยชน์กับทุกคนนน่ะ
เอาโจทย์มาฝากเรื่อยๆครับ คราวนี้เป็นโจทย์ o-net ม.3 ครับ เริ่มทำกันเลย
1. ถ้า \((a,b)\) เป็นคำตอบของระบบสมการ \(3x+6y=0\) และ \(3x-2y=-8\) แล้ว \((a,b)\) จะเป็นคำตอบของสมการในข้อใด (o-net 59)
- \(x+2y=-3\)
- \(x-2y=-4\)
- \(2x+y=3\)
- \(2x-y=5\)
วิธีทำ ข้อนี้ถือว่าง่ายที่สุดแล้ว ง่ายกว่าแบบฝึกหัดในหนังสือเรียนอีกครับ เรามาดูวิธีการทำเลยครับ
\begin{array}{lcl}3x+6y&=&0\quad \cdots (1)\\3x-2y&=&-8\quad \cdots (2)\\\\(1)-(2)\rightarrow (3x+6y)-(3x-2y)&=&0-(-8)\\8y&=&8\\y&=&1\end{array}
เมื่อได้ค่า \(y\) แล้วต่อไปก็หาค่า \(x\) ครับ
แทน \(y\) ด้วย \(1\) ในสมการ \((1)\) จะได้
\begin{array}{lcl}3x+6y&=&0\\3x+6(1)&=&0\\x&=&-\frac{6}{3}\\x&=&-2\end{array}
นั่นคือคำตอบของระบบสมการคือ \(x=-2,y=1\) เพื่อให้สอบคล้องกับโจทย์ที่กำหนดให้มาก็คือ \(a=-2,b=1\) นั่นเองครับ
ต่อไปเราก็ไปดูจะเป็นคำตอบของสมการในข้อใด ก็คือ เอาค่า \(a\) กับ \(b\) ไปแทนในตัวเลือกดู ถ้าเป็นจริงตัวเลือกนั้นจะเป็นตัวเลือกที่ถูกครับ ซึ่ง ลองไปแทนในตัวเลือกที่ 2 นะครับจะได้
\begin{array}{lcl}x-2y&=&-4\\-2-2(1)&=&-4\\-4&=&-4\end{array}
จะเห็นว่าสมการเป็นจริงครับ ข้อนี้ตอบตัวเลือกที่สอง
2. ถ้าสมการ \(2(2x-3)=1-2x\) และ \(8x-a=2(x+1)\) ต่างมีคำตอบเท่ากันแล้ว \(a\) มีค่าเท่าไร (o-net 56)
- \(-2\)
- \(1\)
- \(3\)
- \(5\)
วิธีทำ ข้อนี้ไม่มีอะไรมากครับแก้สมการเฉยๆครับ มาแก้สมการแรกก่อนครับ คือสมการนี้ครับ
\begin{array}{lcl}2(2x=3)&=&1-2x\\4x-6&=&1-2x\\6x&=&7\\x&=&\frac{7}{6}\end{array}
เมื่อได้ค่า \(x=\frac{7}{6}\) แล้วนำไปแทนในอีกสมการเพื่อหาค่า \(a\) ออกมาครับ จะได้
\begin{array}{lcl}8x-a&=&2(x+1)\\8(\frac{7}{6})-a&=&2(\frac{7}{6}+1)\\\frac{28}{3}-a&=&\frac{7}{3}+2\\a&=&\frac{28}{3}-\frac{7}{3}-2\\a&=&5\end{array}
สนับสนุนเว็บไซต์